Строитель математических теорий

Одиннадцатого января скончался известный британский математик Майкл Атья, лауреат Филдсовской и Абелевской премий. За свою почти девяностолетнюю жизнь он успел написать множество научных работ, получивших признание во всем мире, добиться множества наград и званий, воспитать ряд выдающихся ученых. Самыми известными математическими результатами Атьи считаются разработанная им в 60-х годах (совместно с Фридрихом Хирцебрухом) топологическая К-теория и теорема Атьи-Зингера об индексе. В этой статье мы расскажем о вкладе Атьи в алгебраическую геометрию и алгебраическую топологию, а также в развитие калибровочных теорий в теоретической физике.

Если судить в парадигме «двух культур математики», стремившегося избегать конкретных примеров к своим теоремам, Атья (признававший, что Гротендик оказал на него большое научное влияние!) ценил простые и элегантные примеры, иллюстрирующие важный результат.

В этой статье мы постараемся (на доступном уровне) привести примеры к теориям самого Майкла Атьи, проследив его математический жизненный путь.

Часть первая. Алгебраическая геометрия.

Свой научный путь в 50-х годах прошлого века Атья начал в алгебраической геометрии под руководством шотландского математика Уильяма Ходжа (чье имя носит гипотеза, ставшая одной из задач тысячелетия).

Но самая первая его статья была посвящена соответствиям, которые получаются из касательных прямых к скрученной кубике. В обычном трехмерном пространстве скрученную кубику можно увидеть как кривую, чьи проекции на две ортогональные плоскости выглядят как парабола и график кубической функции соответственно:

Свой первый результат Атья изложил на двух страницах, когда был второкурсником Кэмбриджа.

Уже будучи аспирантом, Атья активно следил за развитием модного в то время языка теории пучков, позволявшего согласующимся образом переговорить многие уже доказанные, но разобщенные результаты алгебраической геометрии.

За одну из подобных работ, посвященную линейчатым поверхностям (примером которых служит столь любимая математиками Шуховская башня), Атья в 1954 году получил приз Смита и решил продолжать именно математическую карьеру, пожертвовав другими своими интересами — архитектурой и археологией.

Часть вторая. Топологическая К-теория.

После года работы в Принстоне (бóльшую часть своей академической жизни он провел в Англии) Атья стал активно интересоваться математическими объектами, которые называются векторные расслоения над многообразиями. Простым, но нетривиальным примером расслоения может послужить лента Мёбиуса, расслоенная над окружностью.

Неформально говоря, к каждой точке многообразия, в данном случае окружности, «приклеивается» векторное пространство, в данном случае прямая, причем склейка может непрерывно меняться в зависимости от точки. Зафиксируем вектор на прямой в какой-нибудь точке окружности и начнем движение вдоль окружности, непрерывно обнося при этом вектор вдоль расслоения.

Несложно увидеть, что направление вектора меняется на противоположный при полном обходе вокруг окружности. Это и отражает нетривиальность данного расслоения.

Топологическая К-теория изучает векторные расслоения с помощью алгебраических структур, такие как кольца — множества с заданными операциями сложения и умножения. Так, операция сложения на расслояниях определена как прямая сумма векторных пространств в каждой точке, а операция умножения — как тензорное произведение.

Например, рассмотрим нулевую вещественную К-теорию на окружности. Что получится, если сложить ленту Мёбиуса с самой собой?

Оказывается, что получится тривиальное расслоение окружности плоскостями. Чтобы это увидеть, проще пойти с конца: про такое расслоение плоскостями можно думать как про набор кругов, приклеенных к каждой точке окружности, вместе образующих полноторие, как на картинке выше (это только видимая часть расслоения, но ее будет достаточно).

Теперь про каждую из лент Мёбиуса можно думать как про подрасслоение полнотория. Поскольку в каждой точке окружности на рисунке выше векторы расслоений лентами Мёбиуса не совпадают, мы получаем разбиения тривиального расслоения в прямую сумму двух лент Мёбиуса.

Топологическая К-теория, разрабатывавшаяся Атьёй на протяжении десятилетия, немедленно получила множество применений в алгебраической топологии, как, к примеру, в случае с инвариантом Хопфа для сфер любой размерности. Однако область ее применения оказалась еще шире.

Часть третья. Теория индекса.

Поскольку интуицию, стояющую за глубокой и фундаментальной теоремой Атьи-Зингера в ее самой общей формулировке неспециалисту передать трудно, мы проиллюстрируем частный случай этой теоремы — классическую и старую формулу Гаусса-Бонне для поверхностей. На этом примере будет виден общий принцип: локальные свойства объекта определяют его глобальные свойства.

В данном случае это будут гауссова кривизна поверхности и ее топология. Каждая хорошая (или, как говорят топологи, компактная, ориентированная и без края) поверхность — одна из следующих:

Это топология. Первая поверхность — это сфера, вторая — тор, или поверхность бублика. Легко видеть, что поверхности классифицируются числом «дырок». Это число g называется родом поверхности. Топологическая поверхность — «мягкий» объект, его можно смело деформировать, и он останется тем же (если не допускать самопересечений).

Однако на поверхности можно задать геометрию и, таким образом, придать ей форму. Локально форму поверхности можно описать с помощью кривизны. Окрестность точки положительной кривизни выглядит как поверхность сферы, нулевая кривизна выглядит как участок плоскости, а отрицательная — как седловая точка:

Формула Гаусса-Бонне утверждает, что интеграл кривизны по поверхности равен 2π(2-2g) (число 2-2g еще называется эйлеровой характеристикой поверхности).

Например, в случае тора мы получаем, что этот интеграл равен нулю. Это не кажется поразительным, если думать о торе как о плоском квадрате со склеенными противоположными сторонами, но не очевидно для картинки ниже:

Легко видеть, что на внешней стороне тора кривизна положительная, а во внутренней — отрицательная. Таким образом, положительный и отрицательный влкад в кривизну должны уравновешивать друг друга.

Отметим, что изначальное доказательство теоремы об индексе опиралось на К-теорию.

Часть четвертая. Дружба геометрии и физики.

К огромной удивлению самого Атьи, его работы по теории индекса нашли применение в калибровочных теориях теоретической физики.

Ближе к концу 70-х годов его интересы сместились в сторону взаимосвязей между геометрией и физикой. Тогда от своего соавтора Зингера он узнал об уравнениях Янга-Миллса, описывающих фундаментальные взаимодействия элементарных частиц, в частности поведение глюонов. Как раз в то время эти уравнения начали циркулировать в математическом сообществе.

Атья был среди первых, кто классифицировал инстантоны в четырехмерном евклидовом пространстве. Инстантоны — это топологически нетривиальные решения уравнений Янга-Миллса, которые минимизируют функционал энергии в данном топологическом типе. Физически инстантоны определяют быстрые, но существенные флуктуации в конфигурации калибровочного поля, которые необходимо учитывать на малых расстояниях. Математически подход Атьи заключался в сведении задачи к вопросу об уже упоминавшихся векторных расслоениях.

Среди других достижений Атьи можно упомянуть математический подход к изучению магнитных монополей и аксиоматизацию топологической квантовой теории поля.

Атья был очень заинтересован в том, чтобы «строить мосты» между алгебраическими геометрами и теоретическими физиками. Так, он популяризовывал идеи физика-теоретика Эдварда Виттена, ставшего через пару лет первым и единственным физиком — лауреатом премии Филдса. А Виттен, в свою очередь, открыл для Атьи важность теоремы об индексе для применений к оператору Дирака в физике.

Пройдет всего несколько лет, и сотрудничество геометрии и физики начнет приобретать совершенно иной масштаб — теоретическая физика привнесет во многие области чистой математики свою интуицию и свои методы. Так, уже без непосредственного участия самого Атьи возникнут удивительные математические объекты, такие как квантовые когомологии, инварианты Дональдсона 4-многообразий, инварианты Громова-Виттена и многие другие.

Иван Тельпуховский