Соединяя несоединимое

Рассказываем о «Великой теории объединения математики» — программе Ленглендса

В минувший вторник было названо имя лауреата Абелевской премии 2018 года — аналога Нобелевской премии для математиков. Им стал канадец Роберт Ленглендс, разработавший огромную программу соответствий между различными математическими теориями. Работы Ленглендса показали, что две такие разные области математики, как теория чисел и теория представлений, могут на самом деле оказаться тесно связаны. Размах программы Ленглендса огромен — до сих пор доказана лишь часть утверждений, входящих в нее. Значимость этих частных случаев для математики можно продемонстрировать простым фактом: за последние 20 лет трое ученых были награждены Филдсовской медалью за работы над программой Ленглендса.

Программа Ленглендса и следствия из нее оказались настолько широкими, что даже сам Роберт Ленглендс признавался, что не вполне понимает все работы в этой области. Мы пообщались с математиками, работающими в самых разных областях этой большой науки, и попытались выяснить, что же представляет собой программа Ленглендса. Чтобы лучше пояснить, что это такое, мы разбили материал на несколько отдельных историй, которые шаг за шагом помогут хотя бы частично понять всю красоту тонкой сети взаимосвязей между разными математическими областями, которую некоторые ученые называют «Великой теорией объединения математик».

Разобраться в программе Роберта Ленглендса нам помогли Никон Курносов (НИУ ВШЭ, UGA), Дмитрий Кубрак (MIT) и Владимир Потапов (Институт математики имени Соболева).

О взаимности и теории чисел

Как многие догадываются, математика не исчерпывается геометрией, алгеброй и основами математического анализа, преподаваемыми в школе и первых курсах технических вузов. К примеру, классическая теория чисел исследует различные закономерности объектов, похожих на обычные числа — целые, рациональные. Один из известнейших объектов теории чисел — простые числа.

Первый шаг к программе Ленглендса — квадратичный закон взаимности, утверждение, известное еще во времена Эйлера. Оно выглядит так:

Возьмем два разных простых числа P и Q, причем выберем их так, чтобы они при делении на 4 давали остаток 1 (это например 5, 13, 17, 37, 41). Попытаемся решить два уравнения x2 ≡ Q (mod P) и x2 ≡ P (mod Q). Оказывается, если хотя бы у одного из этих уравнений есть корни, то они автоматически есть и у второго, а если корней у первого уравнения нет, то их не будет и у второго уравнения. Это и называется взаимностью.

Выражения x2 ≡ Q (mod P) и x2 ≡ P (mod Q) читаются очень просто: «Есть ли такие целые числа x, что остатки при делении и Q, и x2 на первое число (P) совпадают, и есть ли такие целые числа x, что их квадраты дают тот же остаток, что и P при делении на второе число (Q)».

Это утверждение связано с другим более простым фактом из теории чисел: оказывается, простые числа, дающие 1 в остатке при делении на 4, разложимы на сумму квадратов двух натуральных чисел. Например, 5 = 12+22, 29 = 52+22.

Подобных законов взаимности в теории чисел огромное количество.

Галуа и подготовка ко второму шагу

Прежде чем мы сделаем следующий шаг, нам надо разобраться в том, с какими объектами, кроме привычных чисел может работать математика.

Одна из известных задач математики — поиск корней многочленов. С поиском корней квадратных многочленов все мы знакомы со школы — их легко найти с помощью дискриминанта. Выпишем, к примеру, корни такого уравнения: x2 + x + 1 = 0. Нетрудно увидеть, что его корни x = –½ + (√–3)/2 и x = –½ – (√–3)/2. Внимательно посмотрев на эти числа можно обнаружить некоторую симметрию между ними — смена знака перед корнем в числе оставляет число корнем уравнения. Такая операция сродни привычным нам операциям симметрии, которые поворотом или отражением совмещают объект с самим собой. Для корней высших степеней смена знака меняется на поворот специального вида. К примеру, решения уравнения x5=1 образуют правильный пятиугольник на комплексной плоскости, вписанный в единичную окружность. Заметил и исследовал эту симметрию впервые выдающийся французский математик Эварист Галуа.

Галуа указал на то, что разные симметрии, которые можно найти в корнях многочленов, можно объединять в группы. Для объектов, входящих в группу, можно ввести операцию, подобную умножению, причем результат умножения объектов группы тоже будет объектом этой группы. Всевозможные группы симметрий для корней многочленов так и называются — группами Галуа.

Интересно, что подход, связанный с симметрией корней многочленов, позволил Галуа объяснить важный факт из алгебры, теорему Абеля (в честь которого, кстати, и названа абелевская премия). Если для уравнений второй, третьей и четвертой степени мы можем выписать общее решение в радикалах (используя дискриминант или формулу Кардано), то для уравнений пятой степени это невозможно. Это связано со свойствами соответствующей группы Галуа.

Помимо групп Галуа ввел другое важнейшее понятие для теории чисел — числовые поля. Полями называются такие наборы объектов, для которых введены операции сложения, вычитания, умножения и деления. К примеру, простейшее поле — поле рациональных чисел (обыкновенных дробей). Какие бы два рациональных числа мы бы ни взяли, результат их сложения, умножения и деления окажется рациональным числом, а получить таким способом корень из двух нам никак не получится.

Однако мы можем расширить наше поле: добавить к нему корни каких-нибудь многочленов. Например, можно добавить тот самый корень из двух — корень многочлена x2 - 2. Тогда все числа в поле будут иметь вид a+b√2 (a и b рациональные) и результат любой операции сложения, умножения и деления будет также сводиться к этому виду.

Мы можем заменить корень из двух на квадратный корень из минус единицы, мнимую единицу и получить числа вида a+bi. Можно даже добавить кубические корни из минус единицы и так далее. В результате получаются более сложные числовые поля, отличающиеся от поля рациональных чисел. И для них также можно ввести группы Галуа, описывающие операции симметрии (вращения, замены «+» на «-» и так далее), которые сохраняют поле рациональных чисел, но переставляют новые точки в расширенном поле.

В этой важной для объяснения программы Ленглендса части нашего рассказа нельзя не упомянуть о судьбе самого Галуа. Все перечисленные результаты математик получил в возрасте 16-20 лет, далеко опередив свое время. Но в возрасте 20 лет Эварист погиб на дуэли, по некоторым свидетельствам, связанной с любовной интригой.

О любви математиков к обобщению

Среди многочисленных шуток про математику есть одна особенно подходящая для этого рассказа. В ней один математик говорит, что придумал новую теорему, а другой угрожает ему тем, что уже придумал, как ее обобщить.

В теории чисел есть огромное число законов взаимности, похожих на квадратичный. Их можно формулировать для разных числовых полей (алгебраических расширений поля рациональных чисел), предложенных Галуа. Эмиль Артин, австрийский математик армянского происхождения, нашел способ обобщить квадратичные законы взаимности (и еще несколько известных законов взаимности) сразу на много разных числовых полей. Формулировка взаимности, правда, стала гораздо сложнее.

Взаимность Артина позволяет описать числовые поля с абелевой (называется она так, кстати, в честь вышеупомянутого Абеля) группой Галуа. Условие что группа абелева здесь означает то, что при перемножении элементов в этой группе можно переставлять множители местами — результат не изменится.

У каждой группы есть её векторные представления. Представление - это способ согласованным образом сопоставить каждому элементу группы матрицу, действующую на векторном пространстве. Векторное представление дает возможность выразить абстрактную алгебраическую структуру через что-то более геометричное, понятное и изученное. Для абелевых групп достаточно рассматривать одномерные представления.

Эмиль Артин смог определить так называемые L-функции для конечномерных представлений групп Галуа числовых полей, более того он доказал что каждому одномерному представлению однозначно соответствует характер Гекке, причем так, что L-функция представления совпадает с L-функцией этого характера.

Объяснить, почему это утверждение похоже на квадратичную взаимность довольно сложно. Из существования характера Гекке с такой же L-функцией следует что произведение некоторых элементов группы Галуа в представлении равно 1 — при правильном взгляде на вещи это оказывается естественным обобщением квадратичного закона взаимности.

Говоря об Эмиле Артине нужно упомянуть, что он решил полторы из 23 проблем Гильберта (семнадцатую целиком, и частично — девятую, если быть точным) и положил начало одной из красивых областей топологии — теории кос.

И тут пришел Ленглендс

Работая в Принстонском университете, Роберт Ленглендс построил новые, ранее неизвестные мероморфные («хорошие») L-функции для автоморфных представлений. Эти объекты были напрямую связаны с работой Артина и позволили математику сделать важнейший, третий шаг в нашем рассказе — собственно сформулировать гипотезы Ленглендса.

Будучи 30-летним адъюнкт-профессором в Принстоне Роберт Ленглендс пишет Андре Вейлю письмо, начинающееся так: «Если вы собираетесь прочитать эти чистые предположения, я буду вам очень признателен, если же нет — я уверен, у вас под рукой найдется мусорное ведро». В 17-страничном рукописном документе математик изложил гипотезы, обобщающие результат Артина на все числовые поля и n-мерные представления Галуа.

Попытаться описать это обобщение можно следующим образом. Числовые поля, на которых рассматривается взаимность Артина, ограничены группами Галуа с одномерными представлениями. Гипотеза Ленглендса утверждает, что такую же взаимность можно получить и для полей с представлениями групп Галуа больших размерностей.

Формально гипотеза Ленглендса звучит так. Существует соответствие между

(1)   n-мерными комплексными линейными представлениями группы Галуа на заданном числовом поле F и

(2)   специальными представлениями n-мерной обобщенной линейной группы GLn(AF) с коэффициентами из кольца аделей F. По ним можно построить так называемые автоморфные формы.

Коротко повторим наш путь к классическому соответствию Ленглендса. Сначала мы говорили о взаимности двух уравнений. Потом уравнения заменились на характеры: группы Галуа и группы иделей соответственно. А в случае Ленглендса возникает соответствие еще более сложных объектов — автоморфных представлений полных линейных групп.

По сути, это соответствие между двумя представлениями. И, с одной стороны, представление строится по числовым характеристикам поля, а с другой – по линейно-алгебраическим. Это и есть соответствие, лежащее в основе всей программы Ленглендса.

Отвлекаясь от строгих математических формулировок, заметим, что гипотеза Ленглендса до сих пор доказана лишь в отдельных частных случаях. К примеру, гипотеза не доказана даже для случая рациональных чисел. Для одномерных случаев она является следствием теории полей классов, и этот результат близок к результату Артина. Для полей функций кривых над конечным полем и группы GL2(K) эта гипотеза была доказана Владимиром Дринфельдом, за что в 1990 году он получил Филдсовскую медаль. Потом более сильный результат уже для всех GLn(K) получил француз Лоран Лаффорг (Филдсовская медаль 2002 года). 

Кстати, одна из статей Лаффорга называется «Chtoucas de Drinfeld et applications». Да, это то, о чем можно подумать, один из объектов, введенных Дринфельдом, называется «штуками». 

В 2010 году за доказательство фундаментальной леммы об автоморфных формах медаль Филдса получил вьетнамец Нго Бао Тяу — он стал первым вьетнамцем, получившим эту математическую награду.

Что со всем этим делать

Программу Ленглендса сравнивают с Розеттским камнем. В будущем она может стать инструментом, позволяющим переводить утверждения одной области математики в другую область математики. Если мы сможем доказать все гипотезы Ленглендса, то у нас появится возможность переносить утверждения из автоморфных форм в теорию чисел. Но пока более существенной проблемой остается доказательство отдельных частных гипотез в программе Ленглендса. И они сами по себе приводят к важным результатам.

Например, частный случай гипотез Ленглендса для двумерных представлений (приходящих из эллиптической кривой) включает в себя гипотезу Таниямы-Шимуры-Вейля, ныне известную как теорема о модулярности. Частный случай теоремы о модулярности доказал Эндрю Уайлс. Это позволило ему завершить доказательство Великой Теоремы Ферма. Подробнее о том, как решали когда-то самую известную из нерешенных теорем в математике, можно прочитать в нашем материале «Кому поля не жмут».

Результаты Дринфельда и Лаффорга тесно связаны с теорией представлений над конечными полями, — а эта область математики имеет прямое отношение к современной криптографии.

Кроме арифметического соответствия Ленглендса (связывающего функциональный анализ и теорию чисел) были сформулированы и различные другие обобщения, к примеру, геометрическое соответствие Ленглендса. В этом году за работу над ним премию Вольфа получили  Владимир Дринфельд и Александр Бейлинсон.

Для геометрического Ленглендса есть даже специальный словарик соответствия, позволяющий «переводить» утверждения. Он выглядит примерно так. Группа Галуа соответствует фундаментальной группе алгебраической кривой. Представление — векторному расслоению с плоской связностью на этой кривой, и так далее. Кроме того, в нем есть специальное понятие зеркальности, важное для калибровочных полей в теоретической физике.

Вместо заключения

В целом, сама идея соответствия между двумя разными математическими объектами подарила и еще подарит и математике и физике много замечательных результатов. Яркими примерами являются всевозможные дуальности в теории струн — S-дуальность, T-дуальность, AdS/CFT соответствие. С их помощью можно переносить сложные математические построения из одних теорий в другие: например, переписать задачи квантовой хромодинамики в кварк-глюонной плазме языком теории струн.

Как часто бывает, математика помогает физикам (и не только) найти нужный язык и нужный аппарат для описания каких-то законов природы. И было бы здорово, если бы «Великая теория объединения математики» помогла наконец завершить «Великую теорию объединения» сильных, слабых и электромагнитных взаимодействий в физике.

Владимир Королёв

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.