Внутренности. Возможно, с краем.

9 ноября стали известны лауреаты премии Мильнера. В этом году их было рекордное количество: всему виной физики, которые выпускают работы в коллаборациях, куда входит больше тысячи авторов. Премию по математике в этом году удостоился Ян Агол. Он получил награду в 3 миллиона долларов за свои работы по трехмерной топологии, в частности, за доказательство гипотеза Мардена.

С точки зрения топологов все задачи делятся на задачи для больших размерностей (больше четырех), экзотические (размерность четыре) и маломерные (размерность три и два). Может показаться, что «маломерность» звучит немного уничижительно. Это не так, именно маломерная, в частности, трехмерная топология является источником множества сложнейших задач современной математики. Достаточно упомянуть, что знаменитая гипотеза Пуанкаре была довольно просто доказана для всех размерностей, кроме трех — для решения задачи в ней потребовались гении Терстона и Перельмана.
Задача, которую в свое время решил Агол, является одной из таких сложных и специфических для трехмерной топологии задач. Мы не расскажем идею доказательства даже в общих чертах, но читателю все равно нужно приготовиться: понять, даже в общих чертах, доказанное Аголом утверждение непросто.

Что такое многообразие

Базовым понятием, с которым имеют дело геометры, является многообразие. Что это такое?
Представим, что составляем атлас карт. Обычно это происходит так: люди выбирают точку на местности, относительно которой будут проводить съемку (лучше — повыше) и подходящий ориентир. Дальше все объекты на карте размещаются относительно этой точки и прямой, связывающей ее с ориетиром. Говоря математически, мы выбираем точку отсчета и вводим на местности координаты.
Штука в том, что с обычного холма большую карту не нарисуешь. Поэтому рано или поздно, если мы хотим получить нормальную карту, нам придется перейти на другой холм. То есть сменить и точку отсчета и ориентир. Нарисуем новую карту. Некоторые объекты попадут в обе. Говоря математически, в наших картах появились точки, с которыми связаны две пары координат. Так как для разных нужд нам потребуются разные карты, то, следовательно, нам нужно знать правило перехода от одних координат к другим. Желательно, в виде каких-нибудь удобных формул.
Двигаясь дальше, мы, в принципе, можем составить карту всей нашей планеты (с морем возникнут проблемы, но для простоты проигнорируем их). Результатом работы станет атлас — то есть набор карт с координатами на них, и формулы, позволяющие пересчитывать координаты объектов из одной карты в другую.
Многообразие в математике — это, по сути, формализация (придуманная Гауссом и Эйлером) такого вот процесса картографирования.
Грубо говоря, оно представляет собой атлас, состоящих из карт, на каждой из которых заданы координаты. Для любой пары карт определено пересечение, на котором заданы функции перехода — те самые формулы, которые пересчитывают координаты точки в одной карте в координаты точки в другой карте. При этом, когда говорят о размерности многообразия, говорят о размерности карт. То есть о количестве координат в наборе, которых достаточно для описания точек на поверхности. В случае с нашим примером таких координат две, значит и наша Земля является двумерным многообразием.

Компактность и замкнутость

В математике в атласе карт может быть сколько угодно, хоть бесконечное множество. Если в каждом атласе можно выбрать конечное число карт, которые покрывают все многообразие, то такое многообразие называется компактным. Еще одним важным свойством является понятие замкнутости многообразия. Его можно пояснить на примере: возьмем интервал на прямой 0 < x < 1. И возьмем последовательность точек x_n = 1/n, лежащих в нашем интервале. Пределом этой последовательности является точка 0, которая нашему интервалу не принадлежит. Так вот, интервал — это не замкнутое множество. А вот отрезок — уже замкнутое.
Если для любой последовательности предельная точка в многообразии лежит, то такое многообразие называется замкнутым. Из компактности следует замкнутость, но не наоборот. Пример замкнутого, но не компактного множества — обычная числовая прямая.
Компактность — очень сильное свойство. Теорема Уитни говорит, что, если есть заданное атласом многообразие, то его можно реализовать в виде поверхности в достаточно большой размерности. То есть, грубо говоря, склеить из наших карт «глобус» (пусть и многомерный). Если у нас был на руках компактный атлас, то полученная поверхность будет замкнутой и ограниченной (то есть ее можно будет запихнуть внутрь шара достаточно большого радиуса).
Теперь осталось определить понятие края. Говорят, что у многообразия есть край, если карты делятся на две категории — одни устроены как пространства (двумерные плоскости в нашем примере), а другие — как полупространства (то есть полуплоскоти). Например, Внутренность круга x² + y² ≤ 1 является замкнутым многообразием с краем.

Классификация двумерных многообразий

Рассмотрим компактные многообразия без края, которые можно представить в виде поверхности в трехмерном пространстве. Последнее требование может показаться странным, но мы накладываем его, чтобы избежать необходимости вводить понятие ориентируемости. Представим себе, что эти поверхности сделаны из резины — нам разрешается их деформировать, а также разрезать и склеивать разрезы (правда только так же, как мы разрезали — переклеивать куски из одного места в другое нельзя). Такой выбор операций не случаен — с их помощью поверхность можно привести к некоторому каноническому виду.
Канонический вид в это случае выглядит очень просто. Представим, что у нас есть два тора (тор — поверхность обычного бублика). Вырежем в боку каждого бублика по круглой дырочке и склеим края. Математики скажут, что получилась поверхность с двумя ручками. Аналогичным образом можно приклеивать еще торы. Добавив в список сферу, как поверхность с нулевым числом ручек — что, разумеется, правда, ручек у сферы нет — мы получим полный список компактных ориентируемых двумерных поверхностей без края. Этот факт известен с середины XIX века. Если нам нужны поверхности с краем (но все еще компактные), то, оказывается, ситуация не сильно сложнее — надо взять компактное многообразие и прорезать в нем дырки. Края дырок и будут краями.

Укротимые многообразия

А что делать, если мы отказываемся, например, от замкнутости. Легко представить, например, что мы выкинули из поверхности одну единственную точку. Поверхность перестала быть замкнутой (и, следовательно, компактной) : действительно, возьмем последовательность, сходящуюся к выкинутой точке. Ее предел в поверхности не содержится. Но эта поверхность может быть реализована как кусок компактной поверхности.
Есть ли некомпактные двумерные многообразия, которые не являются подмножествами компактных ориентируемых? Конечно! И такой пример легко привести. Вспомним, что все поверхности у нас характеризуются числом ручек. Но число это всегда конечно. Теперь возьмем плоскость и приклеим к ней бесконечное количество торов, уходящее вдаль. Может такая поверхность быть подмножеством компактной? Нет, ведь в этом случае у компактной поверхности окажется бесконечное число ручек, а это невозможно.
Поверхности, которые можно «засунуть» в компактное многообразие, называются укротимыми. Пример нашего многообразия с бесконечным числом ручек, соответственно, неукротим и даже имеет собственное имя — Лохнесское чудовище (можно представить себе ручки, как кольца торчащего из воды чудовища бесконечной длины).

Гиперболическая геометрия

Гиперболическая геометрия — это современное название для геометрии, основу которой заложил Николай Лобачевский. Если коротко, то история такова: в «Началах» Евклида была сформулирована аксиоматика планиметрии. И все аксиомы были простые, кроме одной. Она не давала покоя математикам на протяжении нескольких тысяч лет — ее все пытались вывести из остальных как следствие.
В XIX веке эта пятая аксиома была известна в следующей, эквивалентной оригинальной формулировке: через каждую точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, притом только одна. Лобачевский отказался от этой аксиомы и построил непротиворечивую геометрию, которая получила его имя (впрочем, над созданием геометрии трудилось множество ученых того времени).
В геометрии Лобачевского через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной. Но это не единственное ее удивительное свойство: если с помощью таких прямых нарисовать треугольник, сумма его углов будет меньше 180 градусов. Грубо говоря, две прямые в геометрии Лобачевского, выпущенные под первоначальным углом a, «разбегаются» сильнее, чем прямые в привычном нам пространстве.

Гиперболическое многообразие — это многообразие, у которого каждая карта в атласе представляет собой пространство Лобачевского, правда, возможно, высокой размерности.

Теорема Агола

В 1974 году Альберт Марден предположил, вот что. Возьмем гиперболическое трехмерное многообразие. Как можно узнать, что оно ручное, то есть, что его можно представить как подмножество в компактном многообразии с краем? Есть несколько естественных условий. Например, оно должно быть полным, то есть «прямые» в геометрии Лобачевского должны продолжаться бесконечно далеко. Это свойство всегда выполнено на компактных многообразиях. Кроме этого надо наложить условие на фундаментальную группу (это довольно непростая вещь, о ней поговорим при случае в следующий раз).
Марден предположил, что эти условия являются и достаточными. Спустя 30 лет, в 2004 году Ян Агол доказал этот факт. Строго математически он формулируется так: всякое полное гиперболическое 3-многообразие с конечно порожденной фундаментальной группой гомеоморфно внутренности некоторого компактного многообразия, возможно, с краем.

Андрей Коняев