Доступ к телу

В геометрии есть несколько замечательных теорем классификации — теорем, сводящих разнообразие некоторых объектов к конечному набору базовых. Мы начинаем серию материалов, посвященных этим теоремам. Первой в нашем списке идет не самая популярная теорема, известная как теорема Кеплера-Пуансо. Она посвящена так называемым звездчатым многогранникам.

Прежде чем говорить о телах Кеплера-Пуансо, следует обсудить понятие правильного звездчатого многоугольника. Обычным правильным многоугольником называют многоугольник, то есть замкнутую ломаную без самопересечений, у которой равны все звенья и все углы. Легко показать, что правильные многоугольники могут быть только выпуклыми.
Возьмем теперь для примера правильный пятиугольник и продолжим его стороны до следующего пересечения между собой. Получится пятиконечная звезда. Такая звезда — это ломаная с самопересечениями, звенья которой равны между собой, равно как и углы (в данном случае углами ломаной будут только углы при вершинах лучей — углы внутри не учитываются).

Теперь возьмем правильный шестиугольник и продолжим его стороны. В результате получится гексаграмма, она же звезда Давида. В отличие от пятиконечной звезды она состоит не из одной ломаной, а из двух, правильных треугольников.
На основании этих двух примеров можно дать такое определение правильного звездчатого многоугольника: одна или более ломаных, возможно с самопересечениями, у которых равны все звенья и углы, а вершины расположены в вершинах правильного многоугольника. Если ломаная одна, то звездчатый многоугольник называется простым, если несколько — составным.

Один и тот же многоугольник может давать несколько звездчатых многоугольников. Например, стороны семиугольника можно продолжать до следующего после первоначального их пересечения друг с другом, а можно до через одного. Это соответствует двум разным звездам: одну можно получить, соединяя вершины правильного семиугольника через одну вершину, а вторую — через две. Оба звездчатых многоугольника в этом случае, кстати, простые.

Кстати, можно показать, что для каждого правильного n-угольника существует ф(n) простых звездчатых многоугольников с вершинами в вершинах такого многоугольника. Здесь ф(x) — функция Эйлера, которая показывает, сколько положительных чисел меньших x с ним взаимнопросто. Это предлагается сделать самим читателям.

В случае, когда речь заходит о трехмерных объектах, как ни странно, жизнь становится гораздо более скудной. В качестве исходных объектов, роль которых в двумерном случае играли правильные многоугольники, берутся правильные многогранники или, как их еще называют, платоновы тела. Их всего пять штук — тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр и додекаэдр. Чтобы получить звездчатые многогранники, предполагается продолжать грани этих платоновых тел.

Cразу же становится понятно, что как грани тетраэдра и куба ни продолжай, новых пересечений не получится. Что касается октаэдра, то, продолжая его стороны, можно получить одну единственную фигуру — звездчатый октаэдр (это, кстати, тоже несложно доказать, попробуйте!). Она получается из двух пересекающихся тетраэдров, вершины которых расположены в вершинах куба (это подсказка для решения). 

Самые интересные звездчатые многогранники получаются, если продолжать стороны икосаэдра и додэкаэдра. Если брать додекаэдр и продолжать его грани, то можно получить три разных звездчатых многогранника — малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр. Вершины всех этих многогранников лежат в вершинах правильного икосаэдра. При этом все три звездчатых многогранника в отличие от звездчатого октаэдра являются простыми, то есть не могут быть представлены в виде пересечения меньшего количества правильных многогранников. 

Продолжая грани икосаэдра, можно получить 59 разных типов звездчатых многогранников. Самые известные из них — это соединение пяти октаэдров и пяти тетраэдров. Среди всего этого многообразия есть ровно один простой звездчатый многогранник, который называется большим икосаэдром.

По аналогии с правильным звездчатым многоугольником можно определить правильный звездчатый многогранник — это многогранник, грани которого суть правильные звездчатые многоугольники. При этом грани такого многогранника, вообще говоря, могут самопересекаться довольно причудливым образом. Например, соединение пяти тетраэдров дает довольно причудливые пересечения.

Теорема Кеплера-Пуансо (доказанная, кстати, Коши) говорит, что все правильные звездчатые многогранники представляют собой объединение платоновых тел и четырех простых звездчатых многогранников, известных как тела Кеплера-Пуансо. С ними мы уже встречались: это малый звездчатый додекаэдр, большой звездчатый додекаэдр, большой додекаэдр и большой икосаэдр.

В заключение этого экскурса отметим вот что: как уже говорилось, в трехмерном пространстве набор простых правильных звездчатых многогранников довольно скуден по сравнению с пространством двухмерным, где их вообще бесконечное множество (это следует из доказанной задачи и тривиального неравенства ф(x) > 1 при достаточно больших x). Что же происходит в пространствах большей размерности? Оказывается, в четырехмерном пространстве тел Кеплера-Пуансо 10 штук, а вот в размерности выше четырех таких тел нет вообще. Это связано, среди прочего, с тем фактом, что в этих размерностях существует всего три аналога платоновых тел — это аналог тетраэдра, называемый правильным симплексом, аналог куба, называемый гиперкубом, и аналог октаэдра, именуемый ортоплексом.