Равновесие и вложение

24 мая 2015 года водитель такси, на котором ехали Джон Нэш с супругой Алисией, не справился с управлением. И Джон и Алисия погибли, а мир лишился одного из величайших математиков XX века.

Рассказывать про Нэша можно по-разному. При желании, например, можно пересказать «Игры разума»: история гения, который борется со сложным недугом и побеждает его (точнее, приспосабливается с ним жить) яркая, понятная и легко доступна для понимания неподготовленному читателю. Но наследие ученого — это его идеи. Поэтому мы поговорим про два замечательных результата Джона Нэша, один из которых принес ему премию памяти Нобеля по экономике в 1994 году, а другой — премию Абеля (ее еще почему-то называют аналогом Нобелевской премии для математиков) в 2015 году.

Итак, представим себе рынок, на котором есть две конкурирующие компании, выпускающие очень схожие продукты. Будем считать, что конкуренция идет пошагово, как в какой-нибудь игре. Один из конкурентов смотрит на объемы производства и цену товара своего соперника, оценивает спрос и делает ход — принимает решение об объеме и цене своего товара. Все игроки предполагают, что объемы производства товаров у соперника постоянны. Такая модель впервые появилась в работе французского экономиста Антуана Курно «Исследование математических принципов теории богатства» (1838), поэтому получила название дуополии Курно.

Оказывается, в достаточно простом случае, который и разбирал Курно, довольно быстро конкуренты оказываются в состоянии равновесия. Грубо говоря, ни один из двух участников не может поменять объемы производства, не теряя в прибыли. Как это часто бывает, при жизни Курно его работа была воспринята довольно холодно. В частности, коллеги критиковали модель за излишнюю простоту. В 40-х годах прошлого века моделью Курно заинтересовались Оскар Моргенштерн и Джон фон Нейман.

В 1947 году они перенесли результат Курно на широкий класс игр — игр с нулевой суммой (сама игра Курно таковой не является). Так ученые называют игры, в которых условный суммарный выигрыш игроков в численном эквиваленте по модулю равен суммарному проигрышу. То есть, например, если один из двух игроков выигрывает рубль, то второй этот рубль проигрывает. Как оказалось, для этого довольно широкого класса игр (от игры Курно они могут отличаться сложной функцией прибыли) в случае двух игроков возникает ровно такая же ситуация — рано или поздно игроки оказываются в равновесии, нарушать которое не выгодно ни одному из них.

В 1950 году Нэш публикует

, в которой доказывает существование равновесия для случая произвольного числа игроков. Вся работа занимает меньше страницы и использует теорему о существовании неподвижной точки у некоторого класса отображений. В этом же году выходит диссертация Нэша (в ней 28 страниц), которая содержит описание понятия равновесия в некооперативных играх (игры, в которых нет сотрудничества между игроками через третью сторону). Позже это равновесие получило название равновесия по Нэшу.

В 70-80-е годы прошлого века теория игр пережила настоящий бум. Результаты Нэша были углублены и дополнены как им самим, так и многими другими авторами. В результате идея равновесия Нэша проникла в самые разные области человеческого знания: оно встречается и при изучении безопасности авиаперелетов, моделировании борьбы PC и Mac и возникновении политических противостояний (все есть вот в этой

). Именно благодаря этому за свои работы Джон Нэш получил премию памяти Нобеля по экономике в 1994 году.

Фундаментальным понятием в дифференциальной геометрии является понятие многообразия. На самом деле, строгое его определение довольно громоздко, но можно легко понять его логику. Представим, что у нас стоит задача картографирования некоторой местности. Мы посылаем несколько команд картографов на местность, а они приносят нам полученные карты. В результате мы получаем много маленьких карт, из которых надо склеить одну большую.
Для того, чтобы это можно было сделать, карты должны удовлетворять нескольким условиям. Во-первых, они должны пересекаться, чтобы были области для склейки. В областях склейки получится по две, а то и больше, систем координат. У нас должен быть закон, который позволяет одни координаты выразить через другие. Это второе условие. В математике вместо маленьких карт рассматривают n-мерные шары, а склейку осуществляют с помощью функций (которые называют функциями склейки). Все вместе это называется атласом многообразия.
Помимо такого определения есть, в некотором смысле, более наглядное. Представим, что на пространстве достаточно большой размерности у нас задано несколько функций f_i. Тогда можно определить поверхность, например, как множество решений системы f_i = 0. Например, обычную сферу радиуса r можно представить уравнением x² + y² + z² - r² = 0. При этом с точки зрения первого определения сферу можно записать в виде атласа, состоящего из двух карт, полученных небольшим продолжением полушарий за экватор.
Оказывается, два этих определения эквивалентны, то есть любое абстрактное многообразие можно представить как поверхность в пространстве достаточно большой размерности. Этот результат классический и известен как теорема Уитни, доказанная Хасслером Уитни в 30-х годах прошлого века.
Теперь немного усложним конструкцию: пусть на пространстве, где у нас задана поверхность, есть скалярное умножение (такое пространство называется евклидовым). Если можно умножать вектора, то можно считать их длины (а, значит, и длины произвольных дифференцируемых кривых, что сейчас, впрочем, не очень важно). В каждой точке на поверхности возникает в этом случае матрица, компоненты которой есть произведения базисных векторов. Такая матрица называется индуцированной римановой метрикой.
Если у нас есть атлас, то риманова метрика должна быть задана в каждой карте. При этом на пересечениях метрики из разных карт должны быть согласованы по особому закону (он называется тензорным законом и заслуживает, конечно, отдельного рассказа). Такое многообразие называется абстрактным римановым многообразием. По теореме Уитни получаем, что всякое многообразие с индуцированной римановой метрикой является абстрактным римановым многообразием. Возникает вопрос, верно ли обратное?

В 50-х годах Джону Нэшу удалось доказать, что верно. Этот результат получил название теоремы Нэша о погружении. Для работы он использовал анализ возникающих в такой задаче дифференциальных уравнений в частных производных. До него эти системы считались слишком сложными, поэтому их анализировать толком даже не пытались. Примечательно, что один из вариантов теоремы утверждает, что для сколь угодно малого шара, например, в 3-мерном пространстве и произвольного двумерного риманова многообразия существует подходящая реализация этого многообразия внутри этого шара. Например, таким образом можно в трехмерное пространство

.

За свои достижения в дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений в частных производных Джон Нэш

в 2015 году премию Абеля.