«Как ломаются спагетти и другие задачи по физике»

Школьные задачи по физике похожи друг на друга и не вызывают особого восторга или интереса у большинства детей и взрослых. Но бывают и исключения. В книге «Как ломаются спагетти и другие задачи по физике» (издательство «Альпина нон-фикшн») физик-теоретик Игорь Иванов собрал задачи «повышенной интересности», каждая из которых выстроена вокруг одного физического вопроса. Все они сопровождаются авторским решением и послесловием, где приводятся ссылки на реальные исследования и публикации. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с задачей, посвященной явлению предплавления в поверхностном слое твердого тела.

Плавление начинается с поверхности

Свойства вещества на поверхности твердого тела не такие, как в его толще. Молекулы поверхностного слоя находятся в особых условиях: им не хватает соседей сверху. Из-за этого меняются свойства целого приповерхностного слоя. В результате в некотором диапазоне температур само кристаллическое тело еще остается твердым, но вблизи границы уже существует квазижидкий приповерхностный слой. Чем ниже температура, чем тоньше этот слой. Но, даже когда его толщина составляет всего одну молекулу, разупорядоченный слой все равно кардинально отличается от упорядоченного кристалла. На рис. 1 на примере льда условно показано, как изменяется поведение поверхности кристалла с ростом температуры от абсолютного нуля и до точки плавления.

Нетрудно догадаться, почему так происходит. Каждая молекула кристалла в среднем занимает определенный узел кристаллической решетки. Но за счет ненулевой температуры она постоянно дрожит вблизи своего идеального положения. Соседние молекулы сдерживают это дрожание; молекула как бы находится в потенциальной яме, которую создают соседние молекулы. Пока температура низкая, энергия молекул мала, а значит, небольшой, много меньше расстояния между молекулами, остается и амплитуда теплового дрожания. При повышении температуры дрожание усиливается, его амплитуда растет, и когда она становится выше определенного порога (примерно 10 процентов от межмолекулярного расстояния), молекула уже не может долго оставаться внутри этой ямы и стремится выскочить из нее. Так, в самом простом виде, начинается плавление.

Понятно, что чем слабее сдерживающая потенциальная яма, тем больше амплитуда тепловых колебаний при заданной температуре. Или же, если взглянуть на ситуацию иначе, тем ниже та температура, при которой колебания достигают критического размаха и происходит плавление. Приповерхностные молекулы чувствуют меньше соседей, они находятся в более слабой потенциальной яме, и именно поэтому плавление на поверхности начинается раньше, при более низкой температуре, чем в толще. Это явление получило название «предплавление».

Все, что сказано выше, — пока общие рассуждения. Они наверняка понятны каждому, но не дают ощущения «температурного масштаба» явления. Для этого уже нужно перейти от качественных рассуждений к числам и получить хоть какую-нибудь оценку того, при какой температуре начинается предплавление (то есть оценить, где на шкале температур лежит граница между зонами B и C на рис. 1). Конечно, это явление довольно сложное, и вряд ли в рамках простой задачи мы можем претендовать на что-то близкое к реальности. Но здесь упор делается вовсе не на реалистичность, а именно на минимальную оценку, на первый шаг на пути от общих слов к серьезной физике.

Для этого построим элементарную модель явления. Во-первых, для простоты возьмем обычную кубическую кристаллическую решетку, состоящую из отдельных атомов одного сорта (рис. 2). Во-вторых, будем считать, что каждый атом чувствует потенциальную яму, которая есть просто сумма потенциальных ям, создаваемых для него каждым ближайшим атомом-соседом. В-третьих, опять же для максимальной простоты, будем считать, что потенциальные ямы от всех ближайших соседей одинаковы и сферически симметричны. Мы уже договорились считать, что плавление наступает тогда, когда амплитуда колебаний атомов превышает некоторый фиксированный порог.

Задача

Найдите, при какой температуре наступит предплавление в поверхностном слое в этой модели, если температура плавления в объеме равна T₀. Оцените эту температуру для льда.

Подсказка

Мы хотим сравнить температуры плавления T (на поверхности) и T₀ (в объеме). Или же, другими словами, пропорциональные этим температурам энергии молекул E и E₀, которые отвечают колебаниям с амплитудой, равной некоторому фиксированному значению (это и есть критерий плавления).
Поэтому нам нужно сравнить два графика потенциальной энергии — для атомов внутри объема и для атомов на поверхности — и выяснить, как соотносятся друг с другом эти критические энергии или соответствующие им температуры. Остается только понять, сколько у каждого атома соседей (не забываем, что, в отличие от картинки, кристалл трехмерный!) и как связаны друг с другом эти два графика.

Решение

Пусть V(x) — потенциальная энергия выбранного атома при его смещении на расстояние x из положения равновесия. Эта потенциальная яма возникает за счет взаимодействий с соседними атомами. Пусть результат взаимодействия с одним ближайшим соседом такой, как на рис. 3, слева. Для простоты будем считать, что потенциальные ямы, возникающие от взаимодействия с несколькими соседями, просто накладываются друг на друга. Тогда, если таких соседей N, полная потенциальная энергия, ощущаемая атомом, есть N · V(x). В этой простейшей модели каждый атом в глубине имеет шесть ближайших соседей, а атом, лежащий на поверхности, — пять. Графики потенциальной энергии на поверхности, 5V(x) (рис. 3, в центре), и в толще кристалла, 6V(x) (рис. 3, справа), будут тогда одинаковыми по форме, но только «поверхностный» график будет составлять 5/6 от «объемного». Этот вывод не зависит от формы потенциальной ямы.

Поскольку форма графиков идентична, то и колебания одинакового размаха в таких потенциальных ямах будут отвечать энергиям E и E₀, тоже связанным множителем 5/6. А раз энергия пропорциональна температуре, то получаем искомое соотношение между температурами плавления: T/T₀ = 5/6. Для льда T₀ составляет 273 К, поэтому T получится 227 К, то есть примерно –45 °C. В рамках нашей модели получается, что предплавление начинается при таких жгучих морозах!

Послесловие

Первым делом надо четко сказать, что наша модель, безусловно, очень упрощенная и совершенно искусственная. Она не учитывает ни реальный вид решетки, ни реальное взаимодействие молекул, ни квантовые эффекты, ни блуждание молекул по свободной поверхности, ни то, как потеря кристаллического порядка проникает вглубь кристалла.

Но она ничего этого и не должна была учитывать! Главная задача модели — преодолеть страх, который возникает у многих людей, интересующихся современной физикой, когда им предлагают перейти от словесных описаний к минимальным вычислениям. Обычно считается, что любой вопрос современной физики будет обязательно очень сложным и разобраться с ним «простому гражданину» нереально. Вовсе нет! Ведь многие численные оценки по порядку величины можно делать самому. Согласитесь, у этой задачи короткое решение и понятный ответ; он моментально превращает общие словесные рассуждения в четко осязаемое число. Это решение не требует никаких сложных формул, не использует сокровенные знания из физики, оно вполне по силам человеку, который внимательно прочтет вступление и подумает над предложенной моделью. Надо просто не побояться сделать этот шаг.

Возвращаясь к физике, заметим, что полученный нами ответ может показаться слишком экстремальным. На основе повседневного опыта человек обычно готов допустить, что какое-то предплавление может происходить при температурах порядка –1 °C или около того. Но уж в морозилке-то (–18 °C) никакого плавления не должно быть, разве не так?

Нет, не так. Повседневный опыт — это полезно, но в его рамках мы можем непосредственно пощупать только то, что происходит с приповерхностным слоем толщиной в десятки и сотни микрон. Однако в задаче речь идет про одноатомный слой! Когда квазижидким остается только этот слой, повседневный опыт нам ничем не поможет, мы предплавление просто не заметим, для этого нужны тонкие методы экспериментальной физики.

Поскольку изучение льда представляет огромную ценность, как чисто научную, так и прикладную, были проведены многочисленные исследования того, что же действительно происходит на поверхности льда при понижении температуры. Самые первые опыты, косвенно демонстрирующие наличие квазижидкого поверхностного слоя, ставил еще Майкл Фарадей в 1850-е гг. Правда, его интерпретация экспериментов встретила жесткие возражения коллег, поэтому в течение целого столетия этот вопрос оставался в тени. К нему физики всерьез вернулись только во второй половине XX в. и самыми разными методами доказали наличие этого слоя и изучили разнообразные его характеристики. Состояние этой науки на конец 1970-х гг. отражено в прекрасной научно-популярной книжке японского физика Н. Маэно «Наука о льде», переведенной в 1988 г. на русский язык.

Правда, по мере накопления данных ситуация с экспериментальными результатами, казалось, только запутывается. Например, разные методики измерения толщины слоя в зависимости от температуры давали результаты, порой отличающиеся друг от друга на целый порядок (рис. 4). Но для нас важно одно: все эти эксперименты действительно видят тончайший водный слой вплоть до температур, сравнимых с той, что мы получили в рамках простейшей модели. Так что найденный ответ оказался не так уж и далек от истины!

Что касается данных, то спустя какое-то время пришли к пониманию, что все эксперименты проводились в разных условиях (вакуум или атмосфера, наличие водяных паров или сухой воздух), а кроме того, на толщину квазижидкого слоя сильно влияли даже небольшие примеси посторонних веществ, растворенных во льду. Поэтому корректного сравнения пока достичь не удается, но в будущем такое «воссоединение методик» нужно будет провести.

Если же обратить внимание именно на самый-самый поверхностный слой молекул в кристалле льда, то здесь аккуратные данные были получены лишь в 2001 г. С помощью спектроскопического и поляризационного анализа авторы смогли выделить сигнал от «торчащих наружу» OH-связей и измерили их ориентационную упорядоченность. Результаты (рис. 5) показали, что постепенная потеря упорядоченности начинается аж при –70 °C! Результаты численного моделирования поведения микрокусочка льда методом молекулярной динамики тоже дают примерно такие числа.

Дополнительная информация

Более подробно о структуре поверхности льда, а также о ее геофизических, климатических, астрофизических и повседневных последствиях можно узнать из книги Маэно Н. Наука о льде. — М.: Мир, 1988. ISBN: 5-03-000561-2.

Популярный рассказ об исследованиях предплавления читайте в новости автора «Поверхностное предплавление льда», Scientific.ru, 24.02.2001: elementy.ru/link/ice

Библиография

1. Li Y. and Somorjai G. A. Surface Premelting of Ice // The Journal of Physical Chemistry C, 2007, vol. 111 (27), pp. 9631-9637. DOI: 10.1021/jp071102f


2. Rosenberg R. Why Is Ice Slippery? // Physics Today, 2005, vol. 58, p. 50. DOI: 10.1063/1.2169444


3. Wei X., Miranda P. B. and Shen Y. R. Surface Vibrational Spectroscopic Study of Surface Melting of Ice // Physical Review Letters, 2001, vol. 86, p. 1554. DOI: 10.1103/PhysRevLett.86.1554


4. Dash J. G., Rempel A. W., and Wettlaufer J. S. The physics of premelted ice and its geophysical consequences // Reviews of Modern Physics, 2006, vol. 78, p. 695-741. DOI: 10.1103/RevModPhys.78.695

Подробнее читайте:
Иванов, И. Как ломаются спагетти и другие задачи по физике / Игорь Иванов. — М. : Альпина нон-фикшн, 2022. — 320 с. — (Серия «Научно-популярные задачи»)