«Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни»

Жизнь порой играет с человеком злую шутку: планы рушатся под давлением обстоятельств и случайностей, которые от нас как будто не зависят. В таких случаях говорят, что все происходит по «закону подлости». В книге «Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни» (издательство «Манн, Иванов и Фербер») кандидат физико-математических наук, популяризатор науки Сергей Самойленко ищет рациональное зерно и дает обоснование досадным закономерностям. Автор прибегает к теории вероятностей, а также смежным разделам: теории мер, марковским цепям, стохастическим процессам, теории очередей, динамическому хаосу и другим. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с отрывком, в котором автор с помощью распределения Пуассона синтезирует жизнь, полную неприятностей, обнаруживает закономерности в наступлении плохих и хороших событий — и показывает, как это влияет на настроение человека.

Синтезируем злодейку-судьбу

Наступление событий, которые никак не связаны между собой и происходят во времени случайно, описывается с помощью хорошо известного пуассоновского потока. Он соответствует многим случайным явлениям — от землетрясений до прихода покупателей в магазин.

Предположим, выполнены такие естественные условия.

1. Если есть два непересекающихся отрезка времени [t ₁,t ₂] и [t ₃,t ₄], то число событий в первом отрезке не зависит от числа событий во втором (отсутствие последействия).
2. Количество событий, произошедших на каком-либо отрезке времени, зависит только от длины отрезка, но не его положения (стационарность).
3. Вероятность, что два события происходят одновременно, пренебрежимо мала (ординарность). Тогда можно показать, что число событий, попадающих на отрезок длины t, подчиняется распределению Пуассона. То есть вероятность P_m того, что на этом отрезке произойдет m событий, определяется так:

Число λ называется интенсивностью или плотностью потока и имеет смысл «среднего» числа наблюдений. Например, при измерении времени в днях значению параметра λ = 1/7 соответствует цепочка случайных событий, в среднем происходящих раз в неделю. Это вовсе не означает, что события будут происходить строго с частотой раз в неделю. Никакой определенной частоты у последовательности событий нет. Это среднее число событий: поскольку в году 52 недели, за год должно произойти около 52 событий (в среднем за много лет), но они будут разбросаны в году неравномерно. На рисунке 6.1 показаны 52 случайные равномерно распределенные даты в году, которые можно рассматривать как моменты появления пуассоновских событий.

Как видите, о какой-либо периодичности в этих событиях речь не идет: когда пожелают, тогда и случатся. Но и в этом беспорядке статистика может нам показать определенные закономерности. Например, распределение длительности периодов между событиями, показанными на предыдущем рисунке, будет вовсе не равномерным (рис. 6.2).

Промежутки времени между соседними пуассоновскими событиями имеют экспоненциальное распределение с плотностью λe^–λt (на рисунке для нашего случая показана сплошной линией). У этого распределения максимум (мода) находится в нуле, а среднее значение равно 1/λ, в нашем случае 7 дней. Более того, стандартное отклонение σ тоже равно 7 дням, поскольку дисперсия экспоненциального распределения σ² = 1/λ². Как видите, эти характеристики вовсе не гарантируют того, что между событиями будет проходить одна неделя. В среднем — да, но чаще всего меньше; к тому же могут наблюдаться и достаточно долгие промежутки без событий. Наконец, медиана показывает, что половина всех промежутков будет иметь длительность не более 5 дней. Интенсивность и частота — совсем не одно и то же; это очень важное замечание, к которому мы еще вернемся в этой главе.

Для справедливости положим, что хорошие и плохие события происходят равновероятно, но яркие и значимые (как хорошие, так и плохие) — существенно реже мелких и незначительных. Пусть это будет «обычная» жизнь, в которой эмоциональная окраска событий подчиняется нормальному (гауссовскому) распределению. Вот как может выглядеть год синтетической судьбы в виде череды случайных абсолютно независимых жизненных перипетий (рис. 6.3).

Знак пиков отражает эмоциональную окраску, а их высота соответствует важности события или глубине переживаний, с ним связанных. Пока никаких полос не наблюдается, есть некий шум. Каждое событие проходит бесследно, ничего не оставляя ни в памяти, ни в настроении. Так не бывает, поэтому наделим нашего модельного героя памятью — для начала идеальной. Каждое со бытие пусть навсегда врежется в его память и отразится на настроении, либо улучшая, либо ухудшая его. Вот какую картинку мы можем получить, понаблюдав за судьбой нашего героя на протяжении десяти лет (рис. 6.4). Текущий «уровень счастья» вычисляется суммированием вкладов всех предшествующих событий. Позитивные события эту сумму увеличивают, а негативные — уменьшают.

Ну что же, мы уже видим какое-то чередование настроения, но картинка вышла не особо радостной. Наш герой после череды смен настроения впал в глубочайшую депрессию. Жаль. Попробуем сгенерировать еще несколько судеб (рис. 6.5). Все они проходят череду светлых и темных полос, но надолго увязают либо в беспросветной тоске, либо в запредельном счастье. Так бывает, конечно, но это явно ненормально.

Ценность релаксации

Наши модельные судьбы мы описали очень примечательным процессом. Он называется одномерным случайным блужданием и имеет ряд необычных свойств, среди которых — самоподобие, то есть отсутствие какого-либо характерного временнóго масштаба. Получив в свое распоряжение неограниченное время, случайное блуждание способно увести неограниченно далеко. Более того, оно обязательно уведет вас на любое наперед заданное расстояние от начального значения! Таким образом, как бы хорошо ни шли ваши дела, но если они подчинены случайному блужданию, то обязательно скатятся до нуля и уйдут ниже — это просто вопрос времени! Правда, если речь о существенных отклонениях, то очень большого времени. Можно показать, что в рассмотренном нами процессе ожидаемая величина отклонения от начального состояния пропорциональна квадратному корню от времени. Это значит, что ожидаемое время, за которое система, отклонившаяся от нуля, вновь вернется в нулевое состояние, пропорционально квадрату начального отклонения.

Помните, как говорил кот Матроскин в известном мультфильме «Каникулы в Простоквашино»: «Я и так счастливый был, а теперь в два раза счастливей стану. Потому что у меня две коровы есть!» Таким образом, можно предположить, что рождение теленка (появление второй коровы) продлит счастье Матроскина в четыре раза.

Но все же идеальная эмоциональная память — это не очень хорошо. Наши герои не забывают ничего и тщательно хранят в памяти всё, даже самые давние события! На их настроение в старости влияет горе от поломанной игрушки в детстве или радость от поцелуя в юности. Причем все последующие поцелуи и игрушки имеют для них такую же важность. Надо этих бедолаг спасать. Эмоции со временем стихают, горе притупляется, радость, увы, тоже. Забывание во многом подобно остыванию, диффузии или замедлению движения в вязкой жидкости, поэтому разумно смоделировать его подобным образом. Перечисленные события относятся к процессам релаксации, о которых мы говорили в конце главы 1. Наделим же и наших героев способностью к релаксации!

Релаксирующая система возвращается к равновесному состоянию, причем тем быстрее, чем больше отклонение от равновесия. Это свойство можно смоделировать геометрической прогрессией или экспоненциальным законом. Введем в нашу модель новый параметр — скорость забывания μ. Его можно выразить через время (в отсчетах нашей модели), за которое уровень эмоции уменьшится достаточно сильно. Например, для μ = 1/60 эмоциональный след от события уменьшится на порядок через два месяца. И вот теперь жизнь стала по-хорошему «полосатой» (рис. 6.6)!

Меняя «степень забывчивости», мы можем получить более или менее эмоционально уравновешенных подопытных. Кажется, мы нашли источник зеброобразности! Это, во-первых, случайные блуждания, склонные к расползанию во все стороны; во-вторых, целительная забывчивость, возвращающая настроение в норму. Результатом становится волнообразное меандрирование^* настроения.

Изучим свойства полученных нами «синтетических» житейских полос. Построим гистограмму, показывающую распределение их длительностей для длиннющей жизни (или множества обычных) с параметрами λ=1/7, μ=1/60 (рис. 6.7).

Первое, что бросается в глаза, — максимум распределения (мода) находится вблизи нуля. Значит, чаще всего времена счастья и несчастья очень коротки, однако встречаются и периоды длительностью более года. В среднем же их продолжительность составляет 33 дня со стандартным отклонением в 36 дней. Это распределение близко к экспоненциальному (на самом деле оно неплохо описывается более общим гамма-распределением с такими параметрами, которые приближают его к экспоненциальному). В свою очередь, экспоненциальное распределение длительностей полос в жизни означает, что смены настроений можно рассматривать как пуассоновский поток — цепочку независимых случайных событий, не имеющих определенной частоты, но случающихся с некоторой известной интенсивностью. Например, в рассмотренном нами примере темные и светлые полосы сменяются с интенсивностью раз в 33 дня, но гораздо чаще в жизни наблюдаются короткие периоды: половина их не дольше десяти дней.

В случае отсутствия «памяти» (для μ = 0) распределение перестает быть экспоненциально убывающим и описывается распределением Юла, которое можно приблизить степенным распре делением (распределением Парето) для длительности меандров T (рис. 6.8).

Статистики говорят, что у таких распределений тяжелый хвост, делающий вполне вероятными очень большие отклонения от среднего значения. Мы наблюдали их в виде долгих «погружений» в то или иное настроение. У полученного распределения есть одно непривычное и странное свойство: для него не определены ни среднее значение (математическое ожидание), ни стандартное отклонение. В предыдущей главе мы уже упоминали, что такое бывает, например, у распределения Коши. Дело в том, что все соответствующие интегралы для распределения Юла расходятся. В связи с этим можно слышать, что и среднее значение в таком случае бесконечно, но это не так. Посмотрите, что произойдет при попытке вычислить математическое ожидание длительности меандров случайного блуждания (рис. 6.9).

Огромные скачки из тяжелого хвоста то и дело сбивают значение среднего, и последовательность усреднений не сходится ни к какому пределу. Значение среднего вовсе не бесконечно, но интеграл не сходится и о каком-то конкретном значении говорить нельзя. Именно в невозможности вычислить среднее для длительности меандров отражается свойство самоподобия случайного блуждания, или отсутствие собственного масштаба времени.

Мы моделировали приспосабливаемость к житейским неурядицам с помощью релаксации — затухания эмоциональных всплесков. Можно истолковать этот процесс иначе — как приспосабливаемость человека к жизненным обстоятельствам. При обработке зашумленных сигналов или последовательностей часто для сглаживания и выделения полезного сигнала используют метод скользящего среднего, рассматривая в каждый момент не сам сигнал, а усредненное его значение за некоторый промежуток времени. Так удается избавиться от шума и получить представление о долговременных тенденциях сигнала. Применяя такое усреднение к житейским неурядицам, мы можем моделировать приспосабливаемость человека. Люди влюбляются и находят повод для радости даже во время войн, а жизнь богатых бездельников не безоблачна. Смещается локальное представление о норме (привычном состоянии дел), от которой настроение отклоняется в ту или иную сторону. Рассматривая разницу между последовательностью эмоций и сглаженной линией фона, мы получим такую же картину полос, какую дала предыдущая модель, с теми же статистическими характеристиками. Это неудивительно, ведь концептуально они практически не различаются, описывая систему с релаксацией (рис. 6.10).

Какие выводы можно сделать из нашего несерьезного исследования? Череда светлых и темных полос в жизни не иллюзия, они существуют на самом деле. Но в них нет особенных закономерностей. Чаще всего они коротки, но бывают и затяжными. Все зависит от легкости характера и способности отпускать прошлое. Более того, если события будут происходить редко, то жизнь станет серой чередой исчезающих в прошлом воспоминаний. Так что в наших интересах запоминать прожитое и в наших силах сделать так, чтобы жизнь не становилась случайным блужданием. Мы можем добиться того, чтобы хороших событий становилось больше и происходили они почаще, пусть даже они окажутся и незначительными.

Лыжная прогулка, искренняя улыбка прохожего, билет на концерт, чашка горячего шоколада в холодный день — все это поможет создать положительный тренд и продлит светлую полосу в жизни. Правда, неизбежные грустные события обязательно сменят настроение. Но не надо винить в этом свое счастье. Это не расплата за него и не сглаз. Это свойство релаксирующих систем — склонность к колебаниям при стохастическом внешнем воздействии.

Подробнее читайте:
Самойленко, С. Б. Вероятности и неприятности. Математика повседневной жизни / Сергей Борисович Самойленко. — М.: Манн, Иванов и Фербер, 2021. — 256 с.