Ковалевская и ее кольца

Математика Софью Васильевну Ковалевскую мы знаем в основном как первую женщину — профессора математики, преподававшую в европейском университете. Но что она сделала в науке? В честь 170-летия Ковалевской математик Павел Бузин рассказывает о том, как Ковалевская помогла понять природу колец Сатурна и доказала теорему, получившую ее имя.

Теорема Коши — Ковалевской

Самая важная работа Ковалевской связана с решением систем дифференциальных уравнений. Она доказала теорему (названную теоремой Коши — Ковалевской) о существовании и единственности локального решения системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Поясним суть теоремы на примере. Дифференциальными уравнениями описываются все динамические (и не только) системы. Второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение объекта, позволяет вычислить изменение скорости и новое положение объекта в пространстве.

Направим ось координат OX в направлении действия силы и получим простейший случай — дифференциальное уравнение вида F_x = mdV_x/dt, для которого значение скорости V(t=0) = V₀ — начальное условие.

Без использования следствий из теоремы Коши — Ковалевской мы не будем уверены, что смогли точно рассчитать новое положение объекта.

Упрощенно суть теоремы Коши — Ковалевской сводится к тому, что если в дифференциальном уравнении коэффициенты определены и являются аналитическими функциями (то есть представимы в виде сходящегося степенного ряда Тейлора), а искомое решение f(x) имеет известное значение в какой-то точке X, то в области рядом с точкой X решение f(x) существует и единственно.

Требование аналитичности важно, так как для целого ряда функций, например вида y = 1/x в точке x = 0, существует разрыв и наши расчеты не дадут точного результата.

Софья Ковалевская доказала эту теорему через разложения f(x) в степенной ряд Тейлора. Приведем основные этапы ее доказательства.

Наша система уравнений для n функций в частных производных в общем виде:

Где φ_i (x₁, x₂, … x_n) — искомые функции от аргументов x₁, x₂, …x_n, являющиеся решением этой системы.

Представим их в форме разложения в ряды Тейлора:

И подставим в нашу систему. После приведения подобных членов (с одинаковыми степенями) мы получаем решение:

Теперь функции φ_i (x₁, x₂, … x_n) определяются однозначно этими рядами и начальными условиями. Единственность решения вытекает из условия сходимости этих рядов. Тем самым было доказано существование решения и его единственность.

Несмотря на простоту идеи, строгое доказательство теоремы потребовало точного описания всех условий. Результатом этой работы стала диссертация Ковалевской — «К теории дифференциальных уравнений в частных производных» (“Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen”).

Для XIX века, когда объем накопленных знаний в области дифференциального исчисления был еще невелик, это была заметная и важная работа. В 1874 году Гёттингенский университет присвоил Ковалевской степень доктора философии.

Но важно это для нас и сегодня, потому решения дифференциальных уравнений с краевым условиями непосредственно применяются, например, в следующих областях:

• описание движения объектов — от броска камня до движения звезд и полета спутников к другим планетам;
• уравнения, описывающие законы гидрогазодинамики, важные для всей авиации и не только;
• электромагнитные колебания и процессы, лежащие в основе всей радио- и электронной техники;
• процессы теплообмена и теплопереноса, начиная с обогрева домов и вентиляции и заканчивая процессами в турбинах тепловых и атомных электростанций;
• предсказание погоды и многие другие области.

Особое значение следствия теоремы Коши — Ковалевской приобрели с развитием численных методов. Так как компьютеры считают с ограниченной точностью, при расчетах старшие члены разложения функций в ряд Тейлора необходимо отбрасывать.

Доказанное Ковалевской существование и единственность решения позволяют нам быть уверенными в точности полученных результатов и корректно оценивать погрешности вычислений.

Кольца Сатурна

Результатом другой научной работы Ковалевской стал ответ на вопрос о форме (и устройстве) колец Сатурна.

Кольца Сатурна привлекали внимание исследователей с момента их открытия Галилеем в 1610 году. Первая попытка успешного теоретического описания феномена колец была выполнена Пьером Лапласом.

В 1785 году Лаплас доказал, что кольца Сатурна не могут быть единым целым и должны состоять из отдельных колец, движущихся относительно друг друга. В качестве одного из объяснений этого феномена Лаплас предложил гипотезу о том, что кольца могут содержать жидкие слои.

В 1859 году Джеймс Максвелл продемонстрировал, что жидкие кольца также должны распадаться. Он выдвинул собственное объяснение состава колец — они состоят из небольших объектов, каждый из которых движется самостоятельно по своей траектории.

В 1885 году Ковалевская, зная об исследовании Максвелла, развила идею Лапласа о кольцах, содержащих жидкие слои. Она построила математическую модель узкого кольца эллиптической формы небольшой ширины.

Ковалевская рассматривала силы, действующие на малый участок кольца dσ, чтобы найти условия, при которых каждый участок кольца (включая участок dσ) будет находиться в равновесии. Для этого надо было сделать расчет с учетом массы кольца.

Ранее этого никто не делал, но, несмотря на огромную вычислительную сложность задачи, Ковалевской удалось выполнить расчеты в первом приближении при условии узкого кольца эллиптической формы.

Для этого ей пришлось взять интеграл вида:

где V — это потенциал гравитационных сил в точке dσ, ψ — угловые координаты всех точек кольца, ψ₁ — координаты элемента dσ, α — ширина кольца, A, B, C и t — коэффициенты, связанные с переводом координат элементов кольца в полярные координаты.

Сегодня такие интегралы можно вычислить, но только с использованием компьютеров, а в конце XIX века Ковалевской были доступны лишь методы разложения в ряды и приблизительные вычисления.

Применив разложение функций в ряды и доказав быструю сходимость рядов для узкого кольца, математик получила возможность свести вычисления к работе с функциями второго порядка.

Из этой работы Ковалевская и ее последователи сделали важные выводы.

Во-первых, кольцо может существовать в равновесии только при единственной комбинации строгого набора параметров:

где ω — угловая скорость вращения кольца, ρ — плотность кольца, a и c — большие полуоси эллипса в безразмерных координатах. Если параметры отличаются в любую сторону — кольцо разрушается.

Во-вторых, скорость вращения кольца в каждой точке должна совпадать со скоростью движения спутника планеты в той же точке.

В-третьих, отдельно Ковалевская исследовала случай, когда масса планеты равна нулю либо очень мала, и доказала возможность существования колец без планет. К сожалению, выполнить исследование устойчивости ей не удалось, но более поздние исследования доказали, что такие кольца всегда неустойчивы.

Наконец, в-четвертых, исследование Ковалевской подтвердило идеи Максвелла о том, что кольца не могут быть жидкими либо содержать жидкие слои. Идеи Максвелла о преобладании в кольцах твердых частиц и объектов получили признание, а после полета спутника к Сатурну это было подтверждено наблюдениями.

Так совместными усилиями Лаплас, Максвелл и Ковалевская «на кончике пера» выяснили, из чего состоят и как устроены одни из самых загадочных объектов Солнечной системы — кольца Сатурна.