«Математика для гуманитариев»

Можно ли объяснить сложные математические понятия человеку, не имеющему специального математического образования? Так сказать, с нуля? Алексей Савватеев, автор книги «Математика для гуманитариев. Живые лекции» (Русский фонд содействия образованию и науке, 2018), с успехом делает именно это. В основу книги положен курс лекций, которые Алексей читал на протяжении многих лет, стараясь донести математическое знание для неспециалистов в этой науке. Книга «Математика для гуманитариев» вошла в длинный список премии «Просветитель» 2018 года. Предлагаем читателям N + 1 познакомиться с фрагментом одной из лекций.

Лекция 2 (фрагмент)

Алексей Савватеев.: Сейчас мы вернемся к Евклиду. Он был не только геометром, но также еще доказал замечательный факт из теории чисел. А именно, что простых чисел — бесконечное количество.

Давайте сначала поговорим о том, как устроено математическое доказательство и по каким канонам его можно создавать. Сейчас будет проведено классическое рассуждение от противного. Что такое «от противного»? Давайте представим, что наше утверждение — неверное. Что тогда? Тогда количество простых чисел конечно. Но если их конечное количество, их можно просто перечислить. Какое первое простое число?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Нет. Ноль не является простым числом. Ноль вообще исключают при рассуждениях о делимости. На ноль не любят делить. Потому что, если вы делите на ноль что-то отличное от нуля, у вас не получится ничего. А если вы делите ноль на ноль, то у вас получится «сразу всё».

Что такое «разделить» одно число на другое? Скажем, что такое разделить 6 на 3? Это значит найти такое число, которое при умножении на 3 дает 6. Это число 2. А если вы 5 разделите на 3, получится дробное число, среди целых чисел его не найти. Содержательная теория делимости, в частности понятие простого числа, относится только к целым числам. Если вы рассматриваете все дроби, делимость совершенно бессмысленна. Потому что любую дробь можно разделить на любую, главное только на 0 не делить. Но если вы формально попробуете разделить, например, 5 на 0, то вы должны найти такое число, которое при умножении на ноль даст 5. Но вы явно не преуспеете в этом, потому что, какое бы вы число ни взяли, при умножении на 0 оно даст 0. Поэтому 5 на 0 разделить нельзя в принципе. А можно ли разделить 0 на 0? Нужно найти такое число, которое при умножении на ноль дает ноль.

Слушатель: Ноль.

Другой Слушатель: Любое.

А.С.: Любое. То есть ноль на ноль, формально говоря, можно разделить, но в результате получится любое число, это математикам тоже не нравится, поэтому решили договориться так, что на ноль просто не делят. А ноль можно разделить на что-нибудь?

Слушатель: На всё, кроме нуля.

А.С.: Да. И что получится?

Слушатель: Ноль.

А.С.: Только ноль. Да. Ноль можно разделить на что угодно, кроме нуля. В ответе всегда будет ноль.

Теперь число единица. Единицу тоже не считают простым числом, потому что на единицу делится любое число.

Итак, первое простое число — 2. Оно делится только на себя и на единицу. Больше четных простых чисел нет, потому что все остальные четные числа делятся на 2. Следующее простое число — это 3, затем число 5. Вот как выглядят первые простые числа:

Р₁ = 2, Р₂ = 3, Р₃ = 5,

а далее

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ..., P_N

Если утверждение Евклида неверно, то есть если простых чисел конечное число, то в какой-то момент выпрыгнет последнее простое число. Обозначим его за Р_N. Получается, что количество простых чисел равно N.

Если Евклид неправ, то значит существует последнее простое число, а каждое из следующих чисел делится на какое-то из предыдущих простых чисел. Потому что если число делится на какое-то число, то оно и на простое число тоже делится, просто нужно делить, делить — пока не дойдете до простого. Давайте теперь составим произведение: 2 × 5 × 7 × 11 × 13 × ... × P_N.

Если N имеет порядок, например, нескольких миллиардов, то в этом произведении стоит несколько миллиардов множителей, которые нужно друг на друга умножить. Но натуральный ряд так устроен, что к любому, сколь угодно большому числу можно прибавить 1.

Так что давайте посмотрим на следующее натуральное число:

2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × ... × P_N + 1

Оно не может делиться ни на какое из предыдущих простых чисел, потому что наше произведение от 2 до Р_N делится на все предыдущие, а если еще единичку прибавить, то делимость сразу уйдет. Если что-то, например, на 3 делится, то следующее число уже на 3 не делится. Поэтому, число 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × ... × P_N + 1 заведомо не может делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5 и так далее... То есть оно всегда дает остаток 1 при делении на все простые числа. Оно нацело ни на что не разделится. Значит, оно простое. Противоречие. Следовательно, простых чисел бесконечное количество.

Некоторое время, правда, недолго, ученые думали, что таким образом можно получить рецепт изготовления простых чисел.

2 + 1 — простое число.
2 × 3 + 1 — простое,
2 × 3 × 5 + 1 — простое,
2 × 3 × 5 × 7 + 1 — простое,
2 × 3 × 5 × 7 × 11 + 1 — простое,
2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 — уже не простое (30031), так как оно делится на 59.

Рецепт не работает.

Мы знаем, что простые числа в натуральном ряду чисел встречаются в бесконечном количестве. А теперь вопрос, как они распределены? Можно ли тут какие-то закономерности установить? Насколько часто или редко они встречаются?

Рассмотрим такое произведение

1 × 2 × 3 × 4 × 5 × ... × 100 = 100! (называемое «сто факториал»).

100 факториал — это произведение подряд идущих натуральных чисел от 1 до 100.

Это — огромное число, его невозможно себе даже представить, но все-таки где-то в натуральном ряду оно есть. Следующее за ним число 100! + 1, потом 100! + 2. Это число будет делиться на 2. Потому что 100! делится на 2, и 2 делится на 2. 100!+3 делится на 3, 100! + 4 делится на 4 и на 2, 100! + 5 делится на 5.

И так до ста. 100! + 100 будет делиться на 100. Получается, что цепочка от 100! + 2 до 100! + 100 — из 99 натуральных идущих подряд чисел простых чисел в себе не содержит. Можно ли сконструировать то же самое, но для 1000 подряд идущих непростых чисел? Конечно. Берете 1001!, то есть произведение всех чисел от 1 до 1001, прибавляете 2, 3, 4 и так далее до 1001. Вот вам 1000 подряд идущих чисел, среди которых нет простых. Значит, регулярности в проявлении простых чисел ожидать нельзя. Промежутки между соседними простыми числами могут быть сколь угодно большими. Можно ли сказать что-то про то, насколько маленькими они могут быть?

Слушатель: Единица — минимальный промежуток.

А.С.: Единица. Но она встречается только в самом начале, между 2 и 3. Потому что из двух соседних чисел одно обязательно четное, а значит — не простое (кроме случая 2 и 3). Получается, что минимальное расстояние между соседними простыми числами, начиная с числа 3, равно 2.

Вначале мы очень много видим этих «двоек» (то есть простых чисел, идущих через одно), потом они становятся всё реже и реже, и возникает вопрос: а кончатся ли эти «двойки» когда-нибудь? Будет ли момент натурального ряда, может быть, ужасно далеко от нас, когда появится последняя двойка соседних простых чисел, отличающихся на 2 единицы? Такие числа, кстати, называются близнецами: 29 и 31, 41 и 43, 71 и 73, 101 и 103. Будет ли момент, когда мы встретим последних близняшек, а между оставшимися простыми числами расстояние всегда будет не меньше трех (на самом деле четырех, потому что они заведомо оба нечетные)?

Это — нерешенная математическая проблема.

Я вам расскажу про одно маленькое «но», которое позволяет оптимистам утверждать о некотором прогрессе в решении этой проблемы. Чтобы вы сразу почувствовали, однако, насколько анекдотичен этот прогресс, выслушайте такую притчу.

В одной стране попытались доказать теорему: У каждого мужа должно быть не более трех жен. Долго не удавалось ее никак доказать. Наконец, дело сдвинулось с мертвой точки. Была доказана близкая к ней теорема: У каждого мужа должно быть не более трех миллионов жен. Ученые продолжают размышлять над этой проблемой.

Так вот. Специалисты по теории чисел решили взглянуть на «проблему близнецов» под похожим, так сказать, углом.

Может быть, можно сказать, что вот хотя бы на каком-то другом расстоянии d (превышающем двойку) уже можно гарантировать, что бесконечно много раз появятся соседние простые? То есть что расстояние между соседними простыми не будет уходить в бесконечность? До 2013 года это оставалось открытой проблемой даже в такой формулировке. В 2013 году математик Итан Чжан (Yitang Zhang) — китаец, работающий в США (как это часто случается с китайцами), доказал, что существует бесконечное множество пар простых чисел на расстоянии, не превышающем некоторого числа d > 2. Доказательство проверили: правильно, есть такое число d. Но единственное, что про него известно, — что оно не превышает 70000000 (см. вышеуказанную притчу). Как говорится, хотели рассматривать простые числа через окошко длиной в три единицы (2-трафарет) — не добились толку. А потом взяли трафарет побольше (70000000-трафарет), и получилось. Таким образом, здесь просматривается новое понятие «обобщенные простые числа-близнецы». Так что бывают 2-близнецы, бывают и 6-близнецы, ..., 70000000-близнецы. Проблема распалась на бесконечную серию проблем, и с какого-то места (то есть с какого-то числа d) она оказалась решенной положительно.

Ведь что такое трафарет? Это такая рамочка. Вот я беру трафарет длиной в 70000000, и в окошечко рассматриваю натуральный ряд, двигаясь вдоль него. Фиксирую моменты, когда внутри этого промежутка встречаются простые числа (более одного). Так вот, их будет бесконечное количество, этих моментов. Чжан доказал, что достаточно взять трафарет длиной в 70000000, чтобы поймать бесконечное количество простых обобщенных близнецов. Конечно, если я сделаю d = 70000001, тем более поймаю бесконечное количество этих обобщенных близнецов. А если возьму чуть меньше, например, 60000000, то уже точно сказать ничего нельзя.

Это — большой прорыв. Потому что в 1896 году Адамаром и Валле-Пуссеном было доказано, что частота появления простых чисел уменьшается. Рассказывают, что Адамар появился в этот день в кафе и сиял как медный грош. Друзья спросили его: «Что-то у тебя такое хорошее настроение, как будто ты доказал асимптотический закон распределения простых чисел». А он и отвечает: «Вы знаете, вы не поверите, но я именно это и сделал, и именно с этим и связано мое хорошее настроение».

«Да ладно», — говорят. Потом проверили и оказалось, что доказательство верно.

Почему это потрясает и почему это убедительно говорит о нерегулярности появления простых чисел? Потому что закон Валле-Пуссена и Адамара говорит, что между соседними простыми числами (в районе натурального числа n) в среднем расстояние равно lnn (натуральный логарифм числа n). Эта функция очень медленно растет, но тем не менее стремится к бесконечности с ростом числа n.

Потом долго пытались придумать формулу для простого числа. Ее искали очень долго и в какой-то момент переключились на доказательство того, что ее в принципе быть не может. А в 1976 году на основе решения российским математиком Ю. В. Матиясевичем десятой проблемы Гильберта был написан конкретный многочлен 25-й степени с целыми коэффицентами от 26 переменных. (В формуле использованы все буквы английского алфавита: a, b, c, d и так далее до x, y, z.) Про этот многочлен удалось доказать, что если подставить в него вместо букв целые неотрицательные числа и вычислить полученное значение, то всегда, когда результат будет положительным числом — оно обязательно будет оказываться простым.

Более того, до ЛЮБОГО простого числа «можно добраться» с помощью какого-то значения именно этого многочлена. Этот многочлен не может в полном смысле слова считаться «формулой для n-го простого числа», но является хорошей (и неожиданной) заменой этой формулы.

Но на этом дело не закончилось. В 2013 году открылась охота на константу Чжана. Это такое число, про которое уже удалось доказать, что на трафарете соответствующей величины, если его двигать по натуральному ряду, будет встречаться бесконечное количество пар простых. Вы не поверите, но к концу 2013 года 70000000 заменили на число 300, даже на 246. Так сказать, еще не доказали, что должно быть не более 3 жен, но доказали, что их не более 246.

И вот я этим 246-трафаретом еду по натуральному ряду, и бесконечное число раз считываю простые числа, которые попали в него. Более того, при условии доказательства некоторого факта, в который все верят, но еще не доказали, трафарет сократят до 12, а там и до исходной проблемы чисел-близнецов доберутся... 2500 лет люди ничего не знали про минимальное расстояние между простыми, полтора года назад (на момент конца 2014 года, когда читались эти лекции — прим. ред.) прорывной результат, снижение этой границы. И теперь гипотеза простых близнецов трещит по всем швам (впрочем, еще держится).

Еще немного про простые числа. Давайте рассмотрим ряд, который похож на ряды с бесконечным числом слагаемых, которые мы уже рассматривали:

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ...

Я буду суммировать числа, обратные к простым. Как говорят математики, «сходится этот ряд или расходится»? Конечная или бесконечная сумма получится? Удивительный ответ состоит в том, что бесконечная. Это открыли в начале XIX века.

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ... = + ∞.

Какое бы число К вы ни взяли, можно указать такое натуральное число n, что, дойдя до члена с номером n, сумма ряда будет превосходить число К.

А если суммировать только обратные к простым близнецам, то сумма будет конечна. Это значит, что простых близнецов заметно меньше, чем всех простых чисел. Потому что если составить ряд из обратных простых, то он пойдет в бесконечность, а если составить ряд из обратных простых близнецов, то он будет конечным. И никто не знает пока, происходит ли это потому, что он где-то закончится и фактически эта сумма будет конечной, или из-за того, что простых близнецов бесконечное количество, но зазоры между ними быстро растут. Все математики, которые этим занимаются, верят, что простые близнецы никогда не кончатся. Но пока это все-таки остается гипотезой.

Подробнее читайте:
Савватеев, Алексей. Математика для гуманитариев. Живые лекции. — 2-е изд., стереотипное. — М.: Русский фонд содействия образованию и науке, 2018. — 304 с.: ил.