Ловушка для физика

Физики зачастую делают необоснованные с точки зрения математики предположения. Например, они совершенно свободно переставляют порядок интегрирования в многомерных интегралах, не задумываясь об их сходимости. Или определяют дельта-функцию как функцию, интеграл от которой равен единице, — от этого у математиков становится особенно тяжело на душе. Или проверяют, что какая-нибудь формула выполняется в нескольких частных случаях, а потом без доказательства считают, что она работает всегда. Поэтому математикам приходится строго обосновывать физические теории, а в некоторых случаях искать для них контрпримеры. Здесь мы рассмотрим пример равенства, которое справедливо для огромного числа частных случаев, но в целом не верно.

Известным примером последовательности, которая кажется постоянной до достаточно большого номера, а потом неожиданно нарушается, являются интегралы Борвейна. Скорее всего, вы о них слышали. Первый член этой последовательности определяется как интеграл по промежутку [0, ∞) от кардинального синуса sinc(x) = sin(x)/x, доопределенного в нуле значением sinc(0) = 1. Второй интеграл вычислить чуть сложнее — под его знаком стоит произведение sinc(x)∙sinc(x/3). Продолжая эту закономерность, мы получим n-ный член последовательности, равный интегралу от произведения n кардинальных синусов: B_n = ∫sin(x)∙sinc(x/3)∙...∙ sinc(x/(2n-1))dx. Так вот, оказывается, что первые семь интегралов в точности равны π/2, но восьмой немножко не дотягивает до этого числа и примерно равен B₈ ≈ π/2 − 2,31×10⁻¹¹.

Почему же так происходит? Чтобы разобраться, придется вспомнить преобразование Фурье, свертку функций и теорему Парсеваля. Если вкратце, дело в том, что интегралы Борвейна можно свести к интегралам по промежутку [0, 1] от некоторых функций F_n(x), носитель которых suppF_n постепенно увеличивается с ростом n. Носитель — это такая область, на которой функция отлична от нуля. В нашем случае оказывается, что «правая граница» suppF_n проходит по значению 1/3 + 1/5 + ... + 1/(2n − 1). До тех пор, пока носитель полностью попадает в отрезок [0, 1], интегралы вычисляются примерно одинаково и равны π/2. Однако при n = 8 эта сумма впервые переваливает через единицу (можете проверить), а потому при вычислении B₈ приходится делать небольшую поправку. Более подробное обоснование можно найти в этой замечательной заметке или в научной статье Давида и Джонатана Борвейнов.

С помощью функции sinc(x) можно сконструировать и другие последовательности, члены которых долгое время остаются равными какому-то заданному числу, а потом внезапно от него отклоняются. Один из способов сделать это основан на следующем утверждении, доказанном Робертом Байли и братьями Борвейнами в 2007 году и связывающим сумму и интеграл от произведения большого числа кардинальных синусов:

Важным дополнением к этому равенству является замечание, что оно выполняется только тогда, когда сумма всех коэффициентов a_k от k = 0 до N не превышает 2π: Σ a_k ≤ 2π. Если последовательность {a_k} очень слабо расходится, это условие будет долгое время выполняться, но в конце концов нарушится при очень большом числе N. Посмотрим, что получится, если выбирать различные такие последовательности.

Например, возьмем самое простое, что приходит в голову — последовательность обратных нечетных чисел, a_k = 1/(2k + 1). Кстати, в этом случае в правой части равенства будут стоять интегралы Борвейна. Сумма такой последовательности превосходит 2π только при добавлении 40249-ого члена. Это можно доказать, честно просуммировав числа, а можно применить формулу Эйлера — Маклорена, свести сумму к интегралу, приравнять 2π и получить уравнение на N. Второй способ даже предпочтительнее, поскольку в нем не накапливаются ошибки при суммировании маленьких чисел. Вообще говоря, эти ошибки могли бы сыграть очень важную роль, поскольку левая и правая часть обсуждаемой формулы отличается при N = 40249 на ничтожно малое число 8,42×10^−226577. Другими словами, если бы кто-то захотел убедиться в том, что равенство действительно нарушается, ему бы пришлось проверить около сорока тысяч частных случаев, удерживая при этом в уме не менее двухсот тысяч десятичных знаков! Ну или он мог бы взять не такую медленную последовательность.

С другой стороны, не обязательно брать именно нечетные числа — вместо двойки в формуле для a_k можно подставить произвольное число m: a_k = 1/(m∙k + 1). При увеличении m очень быстро растет граничное число N. Например, при m = 20 мы получим N ≈ 4,7×10⁴⁷, а при m = 100 число N имеет 230 десятичных цифр, то есть N ≈ 1,6×10²²⁹. Эти примеры служат замечательным напоминанием, что на формулы нельзя полагаться даже тогда, когда они выполняются для первых ста, или тысячи, или десяти тысяч значений.

Этот результат можно «улучшить», если взять последовательности, которые сходятся еще слабее. Например, сумма последовательности обратных простых чисел — то есть a₀ = 1/2, a₁ = 1/3, a₂ = 1/5 и так далее — равна S_n(x) = ln(ln(x)) + B + o(1), где x — это наибольшее простое число в последовательности, B — постоянная Мертенса, а o(1) — о-малое. Легко проверить, что эта сумма превосходит 2π только при x = exp(exp(2π − B) ≈ 10¹⁷⁹. С другой стороны, существует около 10¹⁷⁶ простых чисел, не превышающих такой x (теорема о распределении простых чисел). Получается, что всего в последовательности должно набраться примерно N ≈ 10¹⁷⁶ слагаемых, чтобы формула для кардинальных синусов нарушилась. При этом отличие между левой и правой стороной составит не больше, чем 10^{−(10^165)} (обозначим здесь стрелочкой вторую степень в степенной башне).

Разумеется, это тоже не предел, и легко придумать еще более медленно сходящие последовательности. «Просеем» множество простых чисел, то есть оставим только такие простые, которые можно представить в виде p = q∙n + a, где q, n и a — натуральные числа. Теорема Дирихле утверждает, что их будет бесконечно много, если q и a взаимно просты. Таким образом можно получить по-настоящему гигантские числа, на которых равенство перестает выполняться. Например, для q = 3, a = 1 мы получаем N ≈ 10²⁵⁴²⁵⁵, для q = 10, a = 7 число N ≈ 10^54112058076, а для q = 100, a = 1 находим N ≈ 10^{10^109}. Другими словами, чтобы описать момент, когда утверждение о замене суммы интегралом перестает быть верным, нам понадобится число с 10¹⁰⁹ десятичными знаками!

Продолжать эту игру можно до бесконечности — простых чисел бесконечно много, и выбирая все большие и большие числа в качестве «разреживающего множителя» q, мы получим последовательности, которые все медленнее и медленнее сходятся к 2π. Напоследок рассмотрим число Q = P^P, где P — наибольшее известное на данный момент простое число. На данный момент это 50-е число Мерсенна P = 2^77232917 − 1, десятичная его запись содержит около 10⁷ цифр (если точнее — 23249425). В этом случае номер N можно оценить как N ≈ exp(exp(Q)), и записать это число уже не так-то просто. Логарифмируя его несколько раз подряд, мы получим, что ln(ln(ln(N))) ≈ Pln(P) ≈ 10^23249425∙10^7,3∙ln(10). Логарифмируя еще два раза, находим ln(ln(ln(ln(ln(N))))) ≈ 17,8 > e^e ≈ 15,15. Поэтому конечный результат можно записать в красивой форме:

Этот блог основан на статье математика Роберта Байли (Robert Baillie). В ней вы можете найти более строгие выводы чисел, на которых теорема о замене суммы интегралом перестает работать, а также расчеты с использованием Wolfram Mathematica и примеры других последовательностей.

Дмитрий Трунин