«Обидно за математику»

В российских СМИ и на сайте Нижегородского университета несколько дней назад появились сообщения, что профессор ННГУ и университета Калабрии Ярослав Сергеев нашел решения двух из числа знаменитых «задач Гильберта». Редакция N+1 попросила профессора Новосибирского университета Александра Гутмана прокомментировать по телефону эти сообщения.

Мы с коллегами в Институте математики впервые обратили внимание на работы Ярослава Сергеева в 2007 году. Нас удивило, что его статьи были насыщены пафосом, а, кроме того, с математической точки зрения было странно, что там возникало «самое большое натуральное число», и множество натуральных чисел оказывалось конечным. Мы стали разбираться, и в результате возникла статья, опубликованная в 2008 году в «Сибирском математическом журнале».

Приступая к чтению, я предполагал, что в работах Сергеева окажутся сплошные противоречия, но мои ожидания не оправдались. Это довольно невнятно описанная теория, но теория вполне математическая, ее можно формализовать в соответствии с современными канонами строгости. Кроме того, она непротиворечива. (Вернее, там нет новых противоречий, кроме тех, что уже могут содержаться в классической математике.) Плохая же новость состоит в следующем: теория Сергеева непротиворечива потому, что она элементарна, она очень проста. По большому счету это небольшой фрагмент нестандартной теории множеств или нестандартного анализа. Хотя Сергеев и противопоставляет свои работы нестандартному анализу, его работы — это элементарный фрагмент классического нестандартного анализа.

Помимо таких теоретических разработок Сергеев предлагает новую позиционную систему счисления с новым основанием — бесконечно большим. И на базе нее предлагает написать программное обеспечение под названием «компьютер бесконечности», сейчас он уже запатентован. По сути, это простой калькулятор, который оперирует формально бесконечно большими числами, записанными в виде обычных многочленов: имеется одна буква, которая обозначает бесконечно большое число, и можно с этой буквой составлять арифметические выражения и оперировать ими. Нечто подобное было придумано довольно давно, выложено в интернет и работает просто в браузере.

Первую проблему Гильберта — так называемую гипотезу континуума — сформулировал в 19 веке Георг Кантор, который создал теорию множеств. Он формализовал понятие конечного множества, в основе которого лежит понятие натурального числа. Если количество элементов множества равно какому-то натуральному числу, то это множество конечно, если нет, то оно бесконечно. Среди бесконечных множеств он выделил счетные, то есть те, чьи элементы можно пересчитать — первый, второй, миллионный и так далее. Все элементы такого множества будут помечены числами, то есть существует взаимно однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и элементами такого множества.

И он доказал то, что мы называем сегодня теоремой Кантора. Ее суть в том, что множество всех действительных чисел (куда входят не только целые, но и все дробные и иррациональные числа — корень из двух, число e и т. п.) — несчетное, действительных чисел больше, чем натуральных. Это было сенсацией, получалось, что одно бесконечное множество существенно больше, чем другое. Кантор открыл, что среди бесконечных множеств есть более бесконечные. Количество действительных чисел — это и есть континуум.

Другое представление континуума — количество всевозможных наборов, которые можно составить из натуральных чисел. Можно подсчитать, сколько наборов мы можем собрать из определенного множества объектов. Если, например, у нас есть два объекта, то таких наборов четыре: пустой, состоящий только из первого объекта, состоящий только из второго и содержащий оба объекта. Если объектов три, то наборов будет восемь, то есть 2³. Получается, что континуум — это 2^N, где N — количество натуральных чисел.

Кантор задумался, а бывают ли множества между счетными множествами и континуумом? Есть ли некие промежуточные множества? И в 1877 году он выдвинул гипотезу, что такого множества нет — любое бесконечное множество чисел либо счетно, либо имеет континуум элементов. И в 1900 году на Втором международном конгрессе математиков Гильберт поставил гипотезу континуума первым номером в списке самых важных нерешенных задач. Только в 1948 году Курт Гёдель решил эту проблему наполовину, а потом в 1960 году Пол Коэн решил ее уже полностью. Решение оказалось своеобразным: было доказано, что гипотезу континуума невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

В рамках классической теории множеств эта проблема закрыта. Можно рассматривать другие теории, вводить дополнительные аксиомы, но в рамках классической математики эта проблема закрыта. Она оказалась очень сложной.

В работах Сергеева гипотеза континуума решается очень-очень просто. Классическая проблема Кантора звучит так: существует ли множество, промежуточное между множеством натуральных чисел и континуумом. Но у Сергеева другое множество натуральных чисел и другой континуум, они у него конечны. Он вводит символ «гросс-единицы», grossone, который обозначает число всех натуральных чисел, и это натуральное число конечное, оно очень большое, но все-таки конечное число. И когда возникает вопрос, сколько действительных чисел, Сергеев отвечает на него очень просто: столько же, сколько наборов можно собрать из натуральных чисел, и это будет 2 в степени гросс-единица. Здесь у Сергеева нет противоречий, он просто называет вещи не своими именами. И поэтому проблема континуума в его теории состоит лишь в том, есть ли какое-то число между гросс-единицей и 2 в степени гросс-единица. И, разумеется, ответ элементарный: да, между x и 2^x есть очень много разных чисел.

И подобное происходит во всех работах Сергеева, где упоминается «гросс-единица». Например, есть некоторая проблема итерационно изменяющихся так называемых мигающих фракталов, в которой ставится вопрос об определенных свойствах предельного фрактала. У Сергеева же все просто: поскольку множество натуральных чисел объявляется конечным, имеется «последний» мигающий фрактал, элементарно подсчитываются его характеристики — и проблема «решена».

Нужно оговорить, что кроме этих работ Сергеев занимается еще и глобальной оптимизацией, и насколько я знаю, в этой сфере у него вполне профессиональные работы.

Но в его статьях с «гросс-единицей» просто происходит переопределение фундаментальных понятий, и известные нерешенные проблемы подменяются их элементарными аналогами. Это очень неприятно. Обидно за математику, когда такие подходы объявляются решениями по-настоящему сложных и красивых задач.