К пленным, в глушь, в Саратов

Мы продолжаем следить за 58 Международной математической олимпиадой, которая в эти дни проходит в Рио-де-Жанейро, и совместно с Рокетбанком знакомим вас с занимательными историями из жизни математиков. Напомним, что вы можете поддержать российскую команду — Рокетбанк перечислит на ее счет тысячу рублей, если вы оставите на его сайте заявку на получение бесплатной карты. В прошлый раз мы рассказали о судьбе иранки и выдающегося математика Мариам Мирзахани, а сегодня вспомним о французском инженере-поручике Жан-Викторе Понселе.

Жан-Виктор Понселе (Jean-Victor Poncelet) родился в 1788 году бастардом — то есть незаконным сыном довольно богатого землевладельца Клода Понселе. Появиться на свет вне брака по тем временам было совсем не здорово, но как только Клод взял в супруги мать Жан-Виктора, мальчик сразу же стал законным сыном и наследником.

Окончив обычную школу, Понселе поступил в недавно созданную Политехническую школу в Париже. Задача этого учебного заведения заключалась в подготовке инженерных кадров. Тут надо понимать, что в начале XIX века Франция была страной прикладников. А Политехническая школа так и вовсе была военной — окончив ее в 1810 году, Жан-Виктор сперва получил чин подпоручика, а затем и поручика (лейтенанта) инженерных войск.

Следует сказать, что военным инженером Понселе стал в то время, когда его профессия была крайне востребована — шли наполеоновские войны. Для молодого Жан-Виктора все складывалось довольно успешно, пока он не оказался в составе Великой армии французского императора, которая в 1812 году вторглась в Россию.

Пересказывать историю злоключений французов после ухода из Москвы мы, пожалуй, не будем — они и так всем хорошо известны. Важно, что Понселе, будучи ценным военным кадром, оказался в отряде, который отступал вместе с Наполеоном. В ноябре его часть столкнулась с войсками генералов Милорадовича и Голицына близ деревни Красной под Смоленском. В течение трех дней французы потеряли почти шесть тысяч человек убитыми.

Жан-Виктор получил тяжелое ранение и был оставлен на поле боя. Будь он обычным военным, там бы его и бросили умирать. Но кто-то из русских заметил нашивку инженера, и Понселе подобрали. Полуживого поручика, как утверждают биографы, допрашивал сам генерал Милорадович — как-никак наполеоновская армия на тот момент была самой технологически продвинутой в мире. Но, пишут французские авторы, Понселе ничего не рассказал. В общем, его отправили в глубь России.

Путь в тысячу верст, проделанный пешком, Понселе пережил чудом — зима 1812-13 годов была лютой, много кто из пленных французов не добрался до места назначения. Но, как бы то ни было, ближе к весне 1813 года 24-летний Жан-Виктор Понселе, сын известного землевладельца из Меца, оказался в Саратове.

Вероятно, той весной Понселе не переставал удивляться: во-первых, он выжил после ранения и перенес тяжелейший переход, а во-вторых, он оказался в Саратове. Надо сказать, что и в Саратове появлению французов тоже немало удивились. Губернатор поразмыслил и не придумал ничего лучше, как отправить всех пленных (238 человек, среди которых Понселе был не единственным выпускником Политехнической школы!) сажать дубовую аллею к себе в усадьбу. Кстати, часть этих дубов сохранилась до нашего времени, так что не исключено, что где-то в Саратове растет дуб, посаженный Понселе.

Однако, вернемся к нашей истории. Высаживание дубов не заняло много времени, и французы стали устраиваться в Саратове, кто как умел. Кто-то учил местных барышень танцам (передовым европейским трендам в ту пору, чтобы проникнуть в российскую глубинку, требовалось больше времени, чем французским пленным, чтобы дойти пешком от Смоленска до Саратова), а Понселе решил заняться математикой.

Правда, в Саратове тогда с математической литературой было туго, поэтому он стал восстанавливать знания по памяти. Но нужен был предмет изучения. И он довольно быстро нашелся. Дело в том, что один из основателей Политехнической школы и учитель Жан-Виктора, Гаспар Монж, в свое время написал несколько малозначимых работ по проективной геометрии. Область эта считалась заброшенной — на тот момент последние значимые продвижения в ней относились к XVII (семнадцатому!) веку и принадлежали Жерару Дезаргу (другу Декарта, с которым Дезарг познакомился во время осады Ла-Рошели — той самой, которой руководил кардинал Ришелье и которую описал в знаменитом романе Дюма).

В общем, Понселе взялся за проективную геометрию. Так как, по его словам, математический формализм к тому времени из головы у него напрочь выветрился, он пытался думать большими концепциями. В общей сложности материалов у него набралось на семь записных книжек, с которыми в марте 1815 года он вернулся во Францию (возвращение военнопленных было важным условием отречения Наполеона).

Что же такого придумал Понселе? Двигаясь от больших идей к их реализации, ему удалось заложить мощную аксиоматическую основу проективной геометрии. Представим, что у нас есть плоскость, самая обычная, с которой имеют дело даже школьники. В обычной геометрии пары прямых делятся на параллельные — те, которые не пересекаются, и непараллельные, то есть те, которые пересекаются.

По разным причинам наличие двух этих классов прямых нам не очень удобно. Поэтому положим, что у нас есть некоторая бесконечно удаленная прямая. При этом она состоит из бесконечно удаленных точек. Любая прямая на плоскости в этом случае пополняется такой бесконечно удаленной точкой — то есть любая прямая на плоскости пересекает бесконечно удаленную. Теперь будем считать, что две параллельные прямые на самом деле имеют общую бесконечно удаленную точку, то есть пересекаются на бесконечности.

На первый взгляд, эти умозрительные дополнения не дают нам ничего нового. Но тут в игру вступают две замечательные концепции, придуманные Понселе. Первая — принцип непрерывности. Он говорит, что если у нас есть какая-то достаточно общая теорема для некоторой конфигурации точек, прямых и квадрик (кривых второго порядка), то при непрерывной деформации этой конфигурации теорема должна оставаться верной. Надо понимать, что это не совсем формальное математическое утверждение, но в умелых руках и при должной степени формализации оно способно творить чудеса.

Вторая идея, еще более невероятная, получила название принципа двойственности. Суть его такова: если у вас есть утверждение для прямых и точек, то, заменив все прямые точками, а точки прямыми, вы получите двойственное утверждение, которое будет верно тогда и только тогда, когда будет верно исходное. Этот принцип становится возможным потому, что, как уже говорилось, исчезают непересекающиеся прямые. На проективной плоскости любая пара прямых определяет точку — это точка их пересечения, а пара точек — прямую (ту, которая через них проходит).

Эти два принципа просто перевернули геометрию. Например, в проективной геометрии была известна теорема Паскаля, которая утверждала: пусть на эллипсе, гиперболе или параболе порядка лежат шесть точек A, B, C, C', B', D'. Тогда точки пересечения пар AB' и A'B, AС' и A'С, BC' и B'C лежат на одной прямой. Эта теорема была доказана Паскалем, как уже говорилось, в XVII веке.

При этом в 1806 году была доказана другая теорема — теорема Брианшона. В ней говорилось, что если у нас есть три касательные к гиперболе, эллипсу или параболе прямые, образующие шестиугольник, то диагонали шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке. Из принципа двойственности Понселе эта теорема вытекала автоматически! То есть ее не надо было доказывать, достаточно было переформулировать теорему Паскаля.

Наконец, помимо разработки двух идей, Понселе доказал в Саратове теорему, оказавшуюся важной для совершенно другой области математики, которой стали пристально заниматься только в 1970-х годах. Это так называемая теорема о замыкании. У Понселе она формулируется так: если есть многоугольник, вершины которого лежат на эллипсе, параболе или гиперболе, а стороны, соответственно, касаются эллипса, параболы или гиперболы, то существует бесконечно много многоугольников, которые устроены так же, то есть касаются одной кривой, а их вершины лежат на другой.

Дело в том, что в математике существует штука под названием биллиард. Это не опечатка, термин пишется именно так, хоть и является родственником бильярда. Суть его такова. Пусть дан плоский стол с заданной границей. По нему, по прямой с постоянной скоростью, движется точка. Достигая границы она отлетает от нее по правилу «угол падения равен углу отражения» (если это кривая, то угол считается от касательной). Стол вместе с заданным движением точки называется биллиардом.

Штука в том, что изначально биллиарды появились как удобные модели для объяснения разного рода вопросов гамильтоновой механики. Но их особенно всерьез не воспринимали. Однако в 70-х годах прошлого века выяснилось, что эти самые биллиарды, несмотря на простоту, обладают всеми наборами эффектов «серьезных» многомерных динамических систем: здесь и интегрируемость, и хаос, и многое другое. Так вот, одним из простейших интегрируемых биллиардов является биллиард Понселе. Из его теоремы следует, что, например, если точка движется внутри эллипса, а ее траектория касается некоторого другого эллипса, то траектория замкнута, а сам биллиард обладает квадратичным интегралом.

В общем, Понселе вернулся в Париж, сделал еще много великих открытий и даже успел пару лет поруководить Политехнической школой. До сих пор существует легенда, что он заставил многих своих подчиненных перейти на счеты — якобы во Франции тогда счетами не пользовались (а вот в Саратове пользовались). Понселе стал членом множества зарубежных академий наук, а его имя как одного из величайших ученых Франции красуется на табличке на первом этаже Эйфелевой башни.

Но важно, пожалуй, даже не это. Главное, жизнь Понселе наглядно демонстрирует тот факт, что полет разума, интеллекта невозможно сдержать никакими рамками. Математик найдет возможность заниматься математикой в самых неподходящих для этого условиях.

Ну и чтобы закрыть тему взаимоотношений Понселе и России: в 1857 году французский математик принял приглашение стать членом-корреспондентом Петербургской академии наук.

Вы можете поддержать молодых российских математиков, которые также, возможно, будут вершить будущее науки. Для этого вам достаточно присоединиться к #мырешаем.