На пути к концу света

Как учёные в 1960-х с помощью дифференциальных уравнений и статистики предсказали конец света и как над ними посмеялась реальность.

Одна из главных задач науки — построение теорий, имеющих предсказательную силу. Например, когда-то давно в цене были точные предсказания солнечных затмений. Говорят, что китайский император Чжун Кан из династии Ся за две тысячи лет до нашей эры казнил двух придворных астрологов, потому что те напились и не смогли вовремя предсказать очередное затмение, по поводу которого в стране наступил ужас-ужас и паника-паника. Сейчас с затмениями вроде разобрались и панику они больше не вызывают (да и учёных казнят всё-таки реже — власть имущие находят другие способы их унизить), но задачи небесной механики продолжают быть вполне актуальными: скажем, чтобы Интернет хорошо работал, нужно уметь точно предсказывать, куда полетит спутник связи, запущенный из данной точки с данной скоростью. Иначе есть большой риск найти его через какое-то время на дне океана.

Впрочем, с механикой люди разобрались довольно неплохо ещё несколько сотен лет назад: механические системы относительно просто изучать, поскольку можно ставить разнообразные эксперименты с маятниками, шариками, пружинками и прочими персонажами школьных задач. Причём эти эксперименты прекрасно воспроизводятся: маятник в России, Австралии и США; вчера, сегодня и сотню лет назад, ведёт себя одинаково. Гораздо сложнее обстоит дело с теми науками, в которых эксперименты ставить сложно и дорого (а зачастую и вообще невозможно), а действующие лица, в отличие от шариков и пружинок, обладают собственной волей. Но именно от этих молодых наук, изучающих людей и общество — таких, как экономика, социология или political science — мы ждём сейчас предсказаний, затаив дыхание: экономические, социальные и политические кризисы влияют на нашу жизнь гораздо сильнее солнечных затмений.

Да что там кризисы! Есть вопросы поглобальнее: а долго ли вообще проживёт человечество? Что будет происходить с населением планеты в будущем и как скоро у нас перестанет хватать ресурсов? Что и как можно предсказать на эту тему, если вместо кофейной гущи использовать математические модели? Об этом — сегодняшний пост.

Амебы, кролики и люди

Обычно эту историю начинают с Томаса Мальтуса. Модель, носящая сейчас его имя, гласит: скорость прироста некоторой популяции пропорциональна размеру этой популяции. Например, если предположить, что в банке живут амёбы и за одну минуту каждая амеба делится пополам, то со временем число амёб будет расти в геометрической прогрессии. Если исходно в банке была одна амеба, то через минуту их будет две, через две минуты — четыре (2 × 2 = 2²), через три минуты — восемь (2 × 2 × 2 = 2³) и так далее. Через t минут их будет 2^t.

На практике, однако, амебы (и люди) размножаются далеко не только в фиксированные моменты времени, и более удобной является модель с непрерывным временем, описываемая дифференциальным уравнением. Пусть x(t) — размер популяции в момент времени t. Тогда скорость прироста — это производная по времени dx(t)/dt. Если перевести формулировку из предыдущего абзаца на язык дифференциальных уравнений, получается вот что.

dx(t)/dt=kx(t).

Здесь

— некоторая константа (коэффициент пропорциональности), обозначающая относительную скорость прироста («плодовитость»), различную у разных видов.

Давайте для начала будет считать, что k=1. Получающееся уравнение dx/dt=x можно перевести на естественный язык так: «производная функции равна самой этой функции». Как учит нас великая наука математический анализ, таким свойством обладает функция x(t)=e^t, также известная как экспонента. Похожая функция 2^t обсуждалось выше — только вместо двойки основанием степени является иррациональное число e приближённо равное 2,718281828…. Здесь стоит отметить, что у дифференциального уравнения всегда есть много решений: ведь в зависимости от начального размера популяции (обозначим его через x₀) мы будем получать разные функции x(t). Оказывается, все решения нашего уравнения (исходного, с k) описываются формулой x(t)=x₀e^kt. Тот факт, что эта функция является решением, можно проверить непосредственным дифференцированием; то, что других решений нет, следует из главного результата общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений: теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

На интерактивном графике ниже вы можете поиграть с решением, выбирая разные x₀ и k с помощью двух слайдеров (большие черные кружки).

Заметим, что k может быть и отрицательным: это соответствует вымиранию популяции. Однако при положительных k популяция неограниченно возрастает, причём делает это достаточно быстро: по крайней мере, быстрее любой линейной функции вида x=at+b. Мальтус считал, что ресурсы, имеющиеся у человечества, растут как раз линейно (в арифметической прогрессии), а значит человечество, растущее естественным образом в геометрической прогрессии, обречено на страдания (например, войны), которые смогут ограничивать его рост (если люди не одумаются и не ограничат его сами).

А прав ли Мальтус?

Если говорить о страданиях, то их, конечно, хватает. Но насколько точно описывает экспоненциальный закон рост населения Земли? Давайте проверим. На график ниже нанесено количество людей (в миллионах человек) в разные моменты времени от 1000 года до нашей эры до примерно наших дней. Вы снова можете с помощью слайдеров менять параметры модели: плодовитость k и начальное население (в момент времени t=0, то есть в самом начале нашей эры). Попробуйте подобрать их таким образом, чтобы синяя теоретическая кривая проходила вблизи всех точек красных точек.

Получается? У меня — не очень. Можно сделать так, чтобы приближение хорошо работало на длинном участке времени в прошлом (от 1000 года до нашей эры до примерно 1500 года нашей эры), но затем реальный график населения стремительно уходит вверх и нашей теоретической кривой за ним не угнаться.

В чем дело?

Люди размножаются слишком быстро!

Быстрее, чем амебы (и даже кролики)!

К этому выводу пришел профессор Хейнц фон Фёрстер в середине прошлого века, аккуратно проанализировав (вместе со своими аспирантами) имевшиеся на тот момент данные. Он выдвинул следующее объяснение: люди, пользуясь своими коммуникативными возможностями, организуют свою жизнь более эффективным и комфортным образом и за счёт этого «плодовитость» k не является константой (как в модели Мальтуса), а увеличивается вместе с ростом населения.

«Человеческая популяция может служить типичным примером [такого роста], как показывает постоянное социальное развитие на протяжении всей истории, быстрая урбанизация в последние столетия и широкое развитие средств массовых коммуникаций в последние десятилетия», — пишет фон Фёрстер в своей статье в Science в 1960 году. Действительно: социально-экономические (например, разделение труда) и научные достижения позволяют людям гораздо эффективнее добывать пищу и противостоять внешним угрозам. Скажем, детская смертность снижается, а продолжительность жизни растёт за счёт развития медицины. Чем больше людей в принципе живёт на Земле, тем больше они могут тратить ресурсов на это развитие, которое, в свою очередь, ещё сильнее снижает ограничения для жизни — а значит и для размножения. Таким образом, размер населения становится дополнительным ресурсом для его роста.

Впрочем, это всё лирика. Проверке поддаются не абстрактные рассуждения, а конкретные математические законы. Вернёмся к уравнению dx/dt=kx, но пусть теперь плодовитость k будет пропорциональна размеру популяции: k=sx, где s — некоторый новый параметр (константа). Дифференциальное уравнение, соответствующее нашей новой модели, имеет следующий вид:

dx/dt=sx².

Его решением является не экспонента, а функция вида x(t)=x₀/(1−x₀st). Попытаем счастья с новой функцией.

Получается гораздо лучше! Похоже, что наш новый закон (он называется гиперболическим) — при подходящем подборе параметров — действительно хорошо описывает рост населения Земли в прошлом. Но что будет, если применить его к предсказанию будущего?

Большой бум

Экспонента растет быстро. Функция, которую мы получили в предыдущей части, растет еще быстрее. Настолько быстро, что при приближении к некоторому фиксированному моменту времени она становится сколь угодно большой! Действительно, если t близко к числу t₀=1/(x₀s), знаменатель дроби x₀/(1−x₀st) становится очень маленьким. При этом числитель не меняется и если разделить его на очень маленький знаменатель, получается очень, очень, ОЧЕНЬ большое число. Население растет все ускоряющимися темпами и за конечное время стремится к бесконечности! На картинке это соответствует появлению вертикальной прямой (асимптоты), к которой приближается график нашей функции. Вот так это выглядит:

Что же произойдёт в момент времени t0? Согласно модели, на Земле будет жить бесконечное количество людей. «Наши пра-пра-правнуки не умрут от голода. Они умрут от давки», — пишет профессор Фёрстер в журнале Science. Воистину, такого конца мы не ожидали!

Когда наступит этот момент? Аккуратные вычисления, проведенные фон Фёрстером и его аспирантами, показывают: это случится точно в пятницу, 13 ноября 2026 года (плюс-минус пять лет или около того). То есть совсем скоро.

Мы все умрём?

Безусловно. Но вряд ли это случится 13 ноября 2026 года. Статья фон Фёрстера вышла в 1960-м году и вся статистика по численности населения, собранная до этого времени, её хорошо подтверждала. Но уже в 1965 году скорость роста населения в развивающихся странах стала уменьшаться (в развитых странах пик был пройден еще раньше) и гиперболический закон перестал действовать в масштабах планеты. Причины этого — социальные и технологические изменения, которые привели к тому, что люди стали ограничивать собственную рождаемость по доброй воле, а не потому, что детей нечем кормить. Предсказать такой поворот наша простая модель, разумеется, не могла.

Выдохнули.

Означает ли это, что статья была ошибочной? Нет. Любая математическая модель имеет ограниченную область применимости и ее механическое использование для предсказаний может приводить к неверным результатам. Однако ценность статьи фон Фёрстера это не умаляет: механизмы, которые в ней обсуждались, по всей видимости, действительно работали на протяжении тысяч лет, а сама статья открыла новую эпоху в демографии.