И доказал, что семи вершин недостаточно
Американский математик определил минимальное число вершин, которое нужно для создания оригами-тора из одного плоского листа бумаги. Ученый доказал, что сложить такой тор всего с семью вершинами физически невозможно и с помощью компьютерного алгоритма нашел рабочую конфигурацию из восьми вершин. Работа опубликована в журнале Proceedings of the National Academy of Sciences.
Представьте, что вы пытаетесь свернуть обычный лист бумаги в бублик (в топологии — тор). Но если попытаться соединить концы этой трубочки вместе, бумага сразу сомнется или порвется — то есть превращение плоского листа в тор без растяжения или сжатия невозможно. Чтобы решить эту проблему, математики заменяют округлую поверхность многогранником из жестких плоских треугольников. Чтобы бумага не деформировалась вокруг каждой вершины многогранника, сумма углов всех треугольников должна составлять ровно 360 градусов. Тогда развертку в этой точке можно будет распрямить в плоский лист.
Ученые десятилетиями искали самую простую развертку тора с минимальным числом вершин и линий сгиба. Первые теоретические методы были избыточными и требовали тысяч микроскопических граней. Позже планку удалось снизить до моделей из 10 вершин, а летом 2025 года математик Винсент Тугайе (Vincent Tugayé) представил явный вариант из девяти вершин. При этом нижней теоретической границей считались семь вершин, потому что фигуру с шестью точками невозможно поделить на треугольники так, чтобы получился тор.
Ричард Шварц (Richard Schwartz) из Брауновского университета полностью закрыл этот спор. Сначала он строго доказал, что построить тор из семи вершин невозможно. А затем не просто доказал теоретическую возможность создания тора из восьми вершин, но и создал точную цифровую модель, которая позволяет рассчитать координаты этих точек.
Для схемы из семи точек существует только один топологический способ разбиения на треугольники. При таком способе каждая вершина должна соединяться линиями со всеми остальными точками без исключения. Математик обнаружил и доказал, что попытка собрать такую комбинацию в трехмерном пространстве приведет к тому, что одна из семи вершин обязательно провалится внутрь объемного тела, которое образуют остальные шесть точек.
Чтобы изучить поведение этой внутренней точки, автор мысленно окружил ее крошечной сферой, на которой линии сгиба оставили след в виде дорожек. По правилам оригами бумага вокруг вершины не должна сминаться, поэтому общая длина этих дорожек на сфере должна быть равна длине ее экватора. Для того, чтобы понять как линии распределяются по поверхности сферы, Шварц использовал формулу Крофтона и показал, что дорожка такой длины физически не способна охватить сферу со всех сторон и обязана целиком лежать на одной ее половине. Это означает, что в пространстве все линии сгиба выходят из точки только в одну сторону, что невозможно для объемной фигуры. Был еще один теоретический вариант — распределить все семь вершин ровно по внешней границе фигуры. Однако математик проверил все комбинации и доказал, что тогда бумажные грани начнут врезаться друг в друга.
После этого ученый нашел рабочую схему из восьми вершин с помощью алгоритма, который шаг за шагом двигал точки в пространстве и проверял, насколько сумма углов вокруг них близка к идеальным 360 градусам. В процессе расчетов программа постоянно контролировала форму объекта. Она сдвигала вершины строго вдоль и поперек базовой округлой формы, чтобы модель сохраняла объем и не сплющивалась, и вовремя удаляла слишком узкие треугольники.
В результате компьютер нашел верное решение, которое состоит из 16 треугольных граней. Модель обладает зеркальной симметрией: ее можно повернуть на 180 градусов вокруг вертикальной оси, и она совпадет сама с собой. Внешне она напоминает вытянутую палатку, где две вершины уходят высоко вверх, а остальные шесть лежат почти на самом полу у основания. Бумажные складки уходят глубоко внутрь конструкции и образуют там центральное сквозное отверстие тора. Это отверстие оказалось таким узким, что противоположные стенки бумаги практически касаются друг друга.
Геометрия оригами давно превратилась в строгую науку на стыке математики и инженерии. Ученые оптимизируют алгоритмы для быстрого моделирования поведения оригами-фигур в реальном виде и разрабатывают методы, которые позволяют сложить объект любой сложности с минимумом швов.