Поющая пила оказалась топологическим изолятором

Физики из Гарвардского университета подробно разобрались с тем, как формируется звук в поющей пиле. Проведя экспериментальное, аналитическое и численное исследование, они пришли к выводу, что за это ответственны эффекты топологической защиты. Исследование опубликовано в Proceedings of the National Academy of Sciences.

В основе любого музыкального инструмента лежит его способность какое-то время поддерживать подведенную к нему энергию в виде колебаний. В неэлектронных музыкальных инструментах механическая энергия запасается в резонаторах различного типа, например, струне или воздушном объеме, в которых стоячая волна формируется за счет отражения от стенок или краев.

На этом фоне явно выделяются музыкальные пилы (их еще часто называют поющими). Особенность пилы в том, что ее можно представить в виде тонкого листа упругого материала удерживаемого с обеих сторон. Однако если передать механическую энергию плоской пиле, она издаст лишь глухой звук, поскольку энергия быстро рассеется на границах, за которые ее удерживают. Такая же ситуация наблюдается если согнуть пилу дугой. Но если придать пиле S-образную форму, то в точке ее перегиба колебания начинают поддерживаться существенно дольше, формируя характерный тембр поющей пилы.

В акустике эта область получила название зоны наилучшего восприятия. Примечательно, что при сохранении S-образного изгиба эффект устойчив к разнообразным деформациям пилы: меняется главным образом тон звука, что и делает игру на пиле возможной. Такая особенность сильно напоминает устойчивость мод в топологических изоляторах, на основе которых планируют создавать квантовые компьютеры. Несмотря на то, что физику поющей пилы уже пытались изучать аналитически и численно, никто не обращал внимания на ее связь с эффектами топологической защиты.

Это удалось сделать группе физиков из Гарвардского университета под руководством Лакшминараянана Махадевана (Lakshminarayanan Mahadevan). Они начали свое исследование с построения модели пилы, которая представляла собой длинный и тонкий упругий лист прямоугольной формы. Ее изгиб задавался с помощью тензора кривизны, единственная ненулевая компонента которого зависит только от продольной координаты вдоль листа. Для S-образной конфигурации она обращалась в ноль в точке наилучшего восприятия.

На первом этапе физики записали уравнения для полого листа, в котором они рассмотрели только поперечные волны. Их решением стали дисперсионные соотношения, у которых импульс имел две компоненты. В частности, оказалось, что если импульс моды обладал ненулевой поперечной компонентой, то в области разрешенных частот появлялась запрещенная зона. Оценки, сделанные для стального листа с кривизной несколько десятых долей обратного метра, показали, что в такой пиле зона должна лежать в диапазоне звука от 2 до 5 килогерц. Спектрограммы, снятые с реальной S-образной пилы в лабораторных условиях, показали, что частота издаваемого ей звука лежит в пределах этой зоны.

Для того, чтобы исследовать симметрии в пиле, физики, сделав замену, переписали дифференциальные уравнения таким образом, чтобы они содержали первую производную по времени. Новое уравнение выглядело аналогично уравнению Шрёдингера с соответствующим гамильтонианом, чьи собственные векторы содержали в себе информацию о топологии зонной структуры. В частности, фаза этих векторов обладала сингулярностью в точке перегиба. Она возникала из-за комбинации двух типов симметрии: инверсии во времени и зеркальной симметрии. Именно этот эффект и создавал топологический дефект, в котором сохранялись изолированные моды.

Решение полной численной задачи подтвердило аналитические выводы. Оказалось, что топологическая защита не дает модам сильно взаимодействовать с концами пилы, за которые она удерживается. Этот эффект можно использовать для создания высокодобротных резонаторов не только в акустике, но и в наномеханике, где их можно изготавливать, например, из графена.

Поющая пила — это не единственный акустический материал с необычными топологическими свойствами. Ранее мы рассказывали, как физики построили акустический изолятор Черна.

Марат Хамадеев