Австралийский физик подробно исследовал падение, которое происходит с ускорением большим, чем g. Для этого он численно решил нелинейное дифференциальное уравнение для падающего стержня, закрепленного с одного из концов шарниром. Оказалось, что для случая, когда закреплен нижний конец, его верхний конец ускоряется экспоненциально, а обгон свободного падения происходит только в выделенном диапазоне начальных углов. Исследование опубликовано в Physics Education.
Свободное падение на Земле происходит с ускорением g, приблизительно равным 9,8 метр на секунду в квадрате. Интуитивно кажется, что, если не испытывать никаких дополнительных усилий, направленных вниз, падать быстрее g невозможно. Однако это справедливо только для точечных объектов. Еще полвека назад физики показали, что обогнать g возможно, если закрепить нижний конец стержня шарниром и позволить ему упасть на горизонтальную поверхность. Вертикальное ускорение центра масс стержня будет меньше, чем g, однако точки вблизи его верхнего конца могут достигать в полтора раза большее ускорение.
Позднее была предложена схема, в которой закреплялся уже верхний конец, а стержень отпускался из горизонтального положения. При этом любой объект, находящийся в состоянии покоя на дальнем конце стержня, сразу же начинает отставать от него, переходя в режим свободного падения. Несмотря на то, что этот феномен известен давно, ни в одной из посвященных ему работ не рассчитана зависимость угла поворота стержня от времени, а лишь записаны сами уравнения движения.
Род Кросс (Rod Cross) из Сиднейского университета решил закрыть этот пробел. Он численно решил динамические уравнения для обеих схем и выяснил, чем падение быстрее g в деталях отличается от свободного падения. Оказалось, что в первой схеме зависимость угла от времени описывается экспоненциальными или гиперболическими функциями.
Механическая модель однородного массивного стержня, закрепленного с одного из концов шарниром принципиально проста. Его падение описывается с помощью единственной координаты — угла. Второй закон Ньютона для вращательного движения стержня связывает его угловое ускорение с синусом угла между стержнем и вертикальной осью.
Получающееся дифференциальное уравнение оказывается нелинейным. Оно имеет решение, выраженное через эллиптические функции Якоби, что довольно трудно анализировать в явном виде. Вместо этого математики часто прибегают к приближенным решениям через ряды Фурье или ряды Тейлора. Наиболее известным стало приближение малых углов применительно ко второй схеме, в котором синус угла заменяется самим углом, в этом случае решения представляют собой гармонические колебания маятника.
Вместо этого Кросс записал и численно решил нелинейное дифференциальное уравнение для обеих схем методом конечных разностей. В первом случае он увидел, что стержень, отпущенный из почти вертикального положения (один градус), ускоряется по закону, который с высокой степенью точности аппроксимируется экспоненциально. Увеличение начального угла потребовало обобщить эту зависимость до гиперболического косинуса. Во втором случае стержень разгоняется по параболическому закону.
Особое внимание автор уделил первой схеме, ее еще называют перевернутым маятником. Интерес к перевернутым маятникам обусловлен прикладной задачей по поиску способа предотвратить падение стержня, перемещая шарнир некоторым образом. В отличие от второго случая, здесь обгон свободного падения концом стержня реализуется не всегда.
Физик следил за зависимостью от времени вертикальной координаты конца стержня и простого мяча для различных начальных углов. Он выяснил, что для стержня с параметрами, которые в гармоническом случае соответствовали бы циклической частоте равной восьми радианам в секунду, его конец будет всегда отставать от мяча при углах меньших 42 градусов. При больших углах мяч опережает конец в начале траектории, но затем тот его обгоняет. Наконец, для углов больше 55 градусов конец стержня ускоряется быстрее мяча в любой момент времени.
Простые модели очень часто ведут себя математически сложно. Недавно в этом убедились физики, которые нашли фрактальные свойства в переноске чашки с кофе.
Марат Хамадеев