Санкт-петербургская модель лучше всех справилась с волнами-убийцами

Американские физики предложили новую модель, связывающую высоту океанской волны-убийцы с числом мелких волн, ее образующих. Модель получила название санкт-петербургской в честь одноименного парадокса, описываемого похожей математикой. Оказалось, что санкт-петербургская модель лучше других описывает данные о реальных волнах, собранные за 27 лет наблюдения в Тихом океане. Исследование опубликовано в Physical Review E.

Чем сложнее условия протекания волнового процесса, тем больше вероятность столкнуться при этом с необычными нелинейными эффектами. Наглядной иллюстрацией этого принципа стали волны-убийцы — гигантские океанские волны, которые редко, но все же возникают естественным путем в природе. В последние годы их аналоги стали находить в оптике, бозе-эйнштейновском конденсате и плазме, но только в лабораторных условиях. О лабораторном зарождении волн-убийц также недавно сообщалось.

Океанские волны все же несколько выделяются среди остальных. В первую очередь тем, какой огромный ущерб они наносят судоходству или стационарным океанским платформам. Во-вторых, этот феномен относится к классу редких событий с большой девиацией, что накладывает некоторое ограничение на обнаружение и на методы, изучающие и описывающие эти волны. По этой причине в гидродинамике нет консенсуса на тему того, как именно следует характеризовать волны-убийцы.

Питер Палффи-Мухорай (Peter Palffy-Muhoray) из Кентского университета со своими коллегами из США постарался внести ясность в механизм образования волны-убийцы, проанализировав данные о более чем трех миллиардах поверхностных океанских волн. Они выяснили, что модель, построенная ими на основе распределения редких событий в санкт-петербургском парадоксе, описывает волны точнее, чем уже существующие модели.

Санкт-петербургским парадоксом или санкт-петербургской лотереей называют ситуацию, возникающую в игре, в ходе которой игрок подбрасывает монету до тех пор, пока не выпадет орел. Если это произойдет на n-м броске, игрок получит 2ⁿ долларов. И хотя математическое ожидание выигрыша бесконечно, типичная выплата, на которую обычно рассчитывает человек, парадоксально невелика. Разгадка парадокса заключается в том, что бесконечный выигрыш можно получить только бесконечно подбрасывая монету, для конечного же их числа выигрыш растет по закону логарифма.

Представляя океанские волны в виде суммы отдельных небольших вейвлетов, физики сопоставили их подбрасыванию монеты, совпадение фаз — падению монеты одной и той же стороной, а выигрыш — высоте результирующей волны. Вычислив максимально возможную высоту волны в зависимости от числа вейвлетов, физики получили формулу, выражающуюся через логарифм их числа, и сравнили ее с формулами, полученными в рамках модели Релея и модели Вейбулла (в обоих случаях также фигурирует логарифм).

Для этого авторы взяли данные о положении 156 тихоокеанских буев, собранные за период с августа 1993 года по июнь 2020 года в рамках программы CDIP (Coastal Data Information Program), организованной Калифорнийским университетом в Сан-Диего. После фильтрации всего набора на предмет ложных срабатываний авторы собрали массив о 3 441 188 683 волнах.

Для анализа физики разбивали все данные по получасовым окнам, в пределах которых вычисляли два параметра: наибольшую высоту волны и высоту сильных волн, которая вычислялась как средняя высота трети самых сильных волн. Если отношение этих параметров, названное нормированным максимумом волны, превышает двойку, ее принято считать волной-убийцей. Таких волн во всем наборе оказалось 615 978 штук.

Авторы вычисляли нормированный максимум, постепенно включая в него все больше и больше волн. Величина естественным образом росла. Чтобы оценить характер этого роста, физики аппроксимировали его своей и чужими моделями. Оказалось, что санкт-петербургская модель описывает данные наиболее точно из всех трех моделей, как для полного набора, так и для данных с отдельных буев. Модель авторов показала лучшую подгонку и для большего временного окна, равного 60 минутам, но слегка уступила модели Релея для 15-минутного окна.

Авторы отмечают, что предложенная ими модель может быть использована не только в физике океана, но и в других областях, где возникают эффекты, похожие на волны-убийцы, даже в финансах. Они также подчеркивают, что рост числа волн в ходе дальнейших наблюдений уже вряд ли можно будет описывать имеющимися моделями, поскольку в них не заложены изменения климата.

Волны-убийцы легко изучать постфактум, находясь в безопасности. Но, будучи в океане, было бы полезно уметь их предсказывать. Недавно мы рассказывали, как математики разработали такой инструмент.

Марат Хамадеев