Квантовый предел скорости оказался не таким уж квантовым

Японские физики-теоретики показали, что «квантовый предел скорости», или принцип неопределенности для времени и энергии, в действительности возникает не только в квантовой механике, но и во всех системах, эволюция которых описывается эрмитовым оператором. В том числе в классической системе, которая описывается оператором Лиувилля. Статья опубликована в Physical Review Letters, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.

В классической механике координата и импульс частицы представляют собой обычные числа — неважно, в каком порядке вы будете их умножать, результат будет одинаковым. Более строго можно сказать, что координата и импульс коммутируют. Однако в квантовой механике этим величинам отвечают не числа, а операторы, и коммутатор операторов координаты и импульса отличен от нуля. Вместо этого он равен пусть и очень маленькому, но конечному числу (а именно, [x̂, p̂] = iħ). Некоммутативность квантовой механики — одно из самых важных ее свойств. В частности, именно из некоммутативности следует известный принцип неопределенности Гейзенберга: Δx∙Δp ≥ ½|<[x̂, p̂]>| = ħ/2 (здесь треугольные скобки означают усреднение системы по определенному состоянию). Вообще говоря, аналогичное соотношение выполняется не только для операторов x̂ и p̂, но и для любых некоммутирующих операторов.

Наряду с принципом неопределенности Гейзенберга в учебниках часто приводят аналогичное соотношение для энергии и времени: ΔE∙Δt ≥ ħ/2. Иногда его называют «принципом неопределенности для энергии и времени» или «квантовым пределом скорости» (Quantum Speed Limit, QSL). Слово «скорость» здесь появляется из-за ограничений на время эволюции системы Δt ≥ ħ/(2ΔE). Тем не менее, к этому соотношению следует относиться с осторожностью, поскольку не существует оператора, представляющего время и аналогичного оператору координаты. Более того, несмотря на то, что соотношение неопределенности для энергии и времени считается чисто квантовым эффектом и часто возникает в том же контексте, что и принцип Гейзенберга, в действительности эти два соотношения связаны только косвенно.

Физики-теоретики Манака Окуяму (Manaka Okuyama) и Масаюки Озэки (Masayuki Ohzeki) решили выяснить, действительно ли это соотношение чисто квантовое и может ли его существование определяться не некоммутативностью квантовой механики, а чем-то другим. В этом случае аналогичное соотношение будет существовать даже в классической механике, а также в других системах, которые описываются более сложными уравнениями.

В данной статье ученые показали, что существование «квантового предела скорости» обусловлено свойствами гильбертова пространства, а не коммутативностью. Для этого они рассмотрели обычную, классическую систему n частиц, которая описывается не зависящим от времени классическим гамильтонианом. Эволюция такой системы определяется функцией распределения в фазовом пространстве ρ(t) и эрмитовым оператором Лиувилля L̂, который в некотором смысле аналогичен гамильтониану из квантовой механики. Раскладывая функцию распределения по собственным значениям оператора Лиувилля и рассматривая проекцию конечного распределения ρ(t) на начальное ρ(0), а также используя соотношение cos(t) ≥ 1 − t^2/2, физики получили соотношение, напоминающее квантовый предел скорости (авторы назвали его «классический предел скорости», Classical Speed Limit, CSL):

Затем ученые проверили, к какому ограничению приводит выведенное ими соотношение в случае простейшей системы — одномерного гармонического осциллятора. Оказалось, что в пределе, когда в потенциале осциллятора находится только одна частица, ограничение на время исчезает. Таким образом, авторы заключают, что существование «классического предела скорости» обусловлено большим числом частиц системы, которое обеспечивает «перекрывание» распределений в начальный и конечный моменты времени.

Кроме того, физики рассмотрели еще одну систему, которая описывается эрмитовым оператором — броуновское движение частиц в воде, которое определяется уравнением Фоккера-Планка. В этом случае ученые снова вывели ограничения для времени эволюции системы, раскладывая функцию распределения по собственным состояниям оператора и используя неравенство Йенсена. Наконец, такое же ограничение они вывели для основного кинетического уравнения с дополнительным условием детального равновесия (detailed balance condition).

Таким образом, авторы заключают, что существование «предела скорости» является общим свойством всех систем, эволюция которых описывается эрмитовым гамильтонианом, и не связано с коммутативностью операторов.

Соотношение неопределенности Гейзенберга играет важную роль в экспериментах, поскольку оно приводит к принципиально неустранимой погрешности измерений. О том, как ученые «обхитрили» этот принцип, чтобы поймать гравитационные волны, можно прочитать в нашем материале «Точилка для квантового карандаша».

Дмитрий Трунин