Физики приблизились к описанию эволюции цунами

Физики из Германии, США, Италии, Японии и Финляндии нашли простой способ приближенного решения уравнения Кортевега — де Фриза, которое описывает поведение уединенных волн на воде, называемых солитонами. Кроме того, ученым удалось подтвердить результаты своих расчетов на практике и засвидетельствовать характерные для этого явления эффекты солитонного расщепления и возврата Ферми-Паста-Улама. По мнению физиков, результаты их работы позволят приблизиться к пониманию таких явлений, как накат волн и прибрежная эволюция цунами. Работа опубликована в журнале Physical Review Letters, кратко о нем можно прочесть в пресс-релизе университета штата Нью-Йорк в Буффало.

Солитон — это устойчивая уединенная волна, которая может возникать в нелинейных средах. В отличие от обычных волн, солитоны не рассеиваются при движении, не меняют форму и высоту при взаимодействии друг с другом, то есть ведут себя скорее как частицы, из-за чего их часто называют частицеподобными волнами. Солитоны неоднократно наблюдали экспериментально в различных средах. Впервые на уединенную волну на поверхности воды обратил внимание британец-кораблестроитель Джон Скотт Рассел в 1834 году, с тех пор было доказано существование магнитозвуковых, ионозвуковых солитонов в плазме, лазерных, магнитных, дислокационных солитонов в твердых телах и т.д. 

Считается, что свойства цунами, прибрежных, а также ударных волн во многом схожи с поведением солитонов, поэтому их всестороннее изучение может помочь в разработке средств защиты от многих стихийных бедствий. Кроме того, оптические, или лазерные, солитоны планируется использовать для устойчивой передачи информации на сверхбольшие расстояния, поскольку параметры такой волны не меняются при ее движении через среду и взаимодействии с другими волнами.

Видео эксперимента по созданию солитонов, проводимого авторами работы

Универсальность этого явления может быть объяснена с точки зрения математики. Во многих областях физики для описания разнообразных волновых процессов хорошо подходят уравнения в частных производных, которые содержат в качестве неизвестных различные производные от характеристик рассматриваемого явления. Для многих из них при определенных условиях сумма частных решений не является решением уравнения, это свойство говорит о нелинейности рассматриваемого явления. Именно в нелинейных процессах и могут возникать солитоны. Такая уединенная волна является предельным случаем решения, когда длина волны (расстояние между соседними гребнями) стремится к бесконечности. 

Солитоны обладают рядом необычных свойств. Так, они не меняют свою амплитуду и скорость при движении и даже при взаимодействии с другими солитонами. Единственным изменением, которое происходит при набегании одной такой волны на другую, выступает сдвиг фаз. Это значит, что после того, как две волны разъединятся, они будут смещены на некоторое расстояние от того положения, которое они занимали бы, не будь между ними взаимодействия. Солитоны также могут самостоятельно распадаться на несколько более мелких волн, взаимодействующих друг с другом. После такого взаимодействия система вновь возвращается к первоначальному колебанию — вопреки предположению, что в нелинейной системе периодичность должна исчезнуть. Этот парадокс носит название возврата Ферми-Паста-Улама. 

Авторы сравнивают это явление с комнатой, полной игрушек, в которую запустили много детей. Возврат Ферми-Паста-Улама аналогичен ситуации, при которой через некоторое время после периода хаоса и бедлама комната вновь примет аккуратное первозданное состояние.

Симуляция эффекта возврата Ферми-Паста-Улама для одномерной цепочки

Несмотря на то что гидродинамике как науке насчитывается уже несколько сотен лет, в ней до сих пор существует множество нерешенных проблем. Например, доказательство существования решений уравнений Навье-Стокса — ряда важнейших уравнений гидродинамики — является одной из семи нерешенных «проблем тысячелетия» по версии Математического института Клея. Солитоны и нелинейные волны являются частными решения уравнений Навье-Стокса (которые являются уравнениями в частных производных) при некоторых сложных граничных условиях. Но обычно явление уединенных волн рассматривают исходя из уравнения Кортевега — де Фриза, являющегося более простым приближением основных уравнений гидродинамики. 

Поиск решений нелинейного уравнения является сложной математической задачей, однако для уравнения Кортевега — де Фриза был найден способ, позволяющий получить общее решение. Несмотря на это, расчет параметров частицеподобных волн в каждом конкретном случае требует подключения вычислительной техники. При этом экспериментально подтвердить полученные данные бывает очень непросто из-за введения приближений на стадии расчета. Например, эффект расщепления солитонов, который должен наступать при определенных параметрах дна сосуда и самой волны, удалось наблюдать лишь на небольшом количестве солитонов. 

Авторы новой работы нашли новый, более простой приближенный способ решения уравнения Кортевега — де Фриза. Этот метод, по сравнению с предыдущими, позволяет более точно предсказывать количество и параметры образующихся солитонов для конкретных условий эксперимента. Несмотря на приближенный характер метода, ученые считают, что их работа открывает возможности для более детального экспериментального исследования феномена.

Для доказательства эффективности своего метода авторы провели серию экспериментов, в ходе которых наблюдали эффект образования группы из восьми отдельных волн, который был также предсказан в более ранних работах. Солитонные волны создавались в 110 метровом бассейне с помощью управляемого компьютером поршня. На различных расстояниях от поршня помещали датчики, которые фиксировали зависимость высоты воды в бассейне от времени. 

Результаты эксперимента показали хорошую предсказательную способность теории. Ученым даже удалось подобрать параметры первичной волны так, чтобы добиться возникновения эффект возврата Ферми-Паста-Улама, который на практике удавалось получить лишь небольшому количеству научных групп. 

Существование точного решение уравнения Навье-Стокса, описывающего поведение вязкой жидкости, — одна из семи «задач тысячелетия», сформулированных институтом Клэя в 2000 году. Шесть остальных задач относятся к различным областям математики: теории алгоритмов (равенство классов P и NP), алгебраической геометрии (гипотеза Ходжа), топологии (гипотеза Пуанкаре), теории чисел (гипотеза Римана) и теории групп (теория Янга — Миллса и гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера). Из них была доказана лишь гипотеза Пуанкаре. Автором доказательства стал российский математик Григорий Перельман.

Екатерина Козлякова