Математик нашел объяснение неожиданно простой формуле движения эллипсоида

Американский профессор Стангтей Ким решил проблему неожиданно простого описания движения эллиптической частицы в жидкости. Статья ученого появилась в журнале Industrial & Engineering Chemistry Research.
В задаче о эллиптическая частица рассматривается как твердое тело: с точки зрения математики это означает, что при движении расстояния между любой парой точек тела сохраняются. То есть, фактически, нет деформации. Это означает, что движение тела описывается поступательным движением центра масс частицы и ее вращением ее осей симметрии.

При описании движения такого тела надо согласовать, условно, физические свойства среды и, собственно, геометрию движения. Для этого на границе поверхности выписываются некоторый набор уравнений. Как подсказывает здравый смысл, самый простой вид эти уравнения имеют для сферы: две величины оказываются связаны просто постоянным множителем.

В 1964 году Говард Бреннер написал работу, в которой показал, что для эллипсоида соотношение не сильно сложнее. Грубо говоря, постоянный множитель надо заменить на довольно простую функцию, представляющую собой в каждой точки x поверхности скалярное произведение нормали n к этой поверхности, взятой в x, и, собственно, радиус-вектора x. Эта функция математикам хорошо известна и встречается во множестве других геометрических работ (эллипсоид вообще довольно популярная геометрическая фигура).

Чтобы получить нужный множитель, Бреннер потратил 10 страниц сложных вычислений. Киму удалось уместить доказательство меньше, чем в страницу. Это стало возможным благодаря тому, что Ким применил к задаче теорию скалярных умножений с весами. Конечномерным аналогом таких умножения является риманова метрика - скалярное произведение, вообще говоря, зависящее от точки пространства, где оно считается.

Ким надеется, что его подход можно будет распространить на другие механические случаи.

Андрей Коняев