Комментарий в интернете помог доказать гипотезу Эрдеша о расходимости

Фрагмент схемы работы доказательства Конева и Лисицина.

Изображение: Konev et al.

Лауреат Филдсовской премии Теренс Тао заявил о доказательстве так называемой гипотезы Эрдеша о расходимости (The Erdős discrepancy problem). Статья Тао появилась на arXiv.org.

Гипотеза Эрдеша формулируется следующим образом: рассмотрим последовательность, состоящую из единиц и минус единиц. Тогда для каждой такой последовательности можно определить такие целые числа d и k, что сумма элементов, стоящих на местах с номерами 0, d, 2d, ..., dk будет по модулю больше любого наперед заданного C.

В феврале 2014 года математики Борис Конев и Алексей Лисица объявили, что им удалось частично доказать гипотезу с помощью компьютера. Они свели задачу к доказательству гипотезы для специального класса последовательностей: в них произвольным образом единицы и минус единицы расставляются только на местах, номера которых простые числа. На i-м же месте оказывается произведение чисел, стоящих на местах, соответствующих простым делителям числа i. То есть, в такой проследовательности на 15-ме месте, например, будет стоять произведение чисел на 5-м и 3-м местах.

При этом Коневу и Лисице не удалось доказать, что C может быть сколь угодно большим - они доказали для случая C = 2. Кроме этого для работы пришлось написать программу, которая выдала в общей сложности 13 гигабайт данных по результатам работы. Для сравнения, все тексты Википедии без картинок занимают примерно 10 гигабайт.

Тао удалось найти новый подход к решению задачи. В частности, он решал совершенно иную задачу, а то, что его задача связана с гипотезой Эрдеша, ему подсказал один из комментариев в его собственном блоге. В настоящее время доказательство проходит проверку.

Андрей Коняев

Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.