Математики научились оптимизировать зрелищность спортивных состязаний

Российским математикам удалось аналитически решить задачу об оптимальном посеве команд в турнирах на выбывание. Согласно полученному решению, существует две оптимальные схемы: или с самого начала сильные играют с сильными, слабые — со слабыми, или на каждом этапе в паре есть команда из «слабой» половины и команда из «сильной». Выбор между двумя решениями определяется параметрами конкретного турнира. С текстом работы можно ознакомиться на сайте Social Science Research Network.
Для математической параметризации задачи авторы обозначали команды на турнире в соответствие с их силой от 1 до N, где 1 — самая сильная. Далее вводится характеристика матча с точки зрения зрителей: D(r,i,j) = A^r f[g(i+j) — |i-j|], где i и j — номера команд, r — номер раунда. Первый член A^r определяет степень возрастания интереса к турниру при его приближении к финалу, g(i+j) — это «качество» данного матча, пропорциональное суммарной силе команд, а -|i-j| - зрелищность матча, которая определяется тем, насколько команды близки по силе. Авторы отмечают, что эмпирически известно, что чем ближе команды по силе, тем интенсивнее будет противостояние. f — это функция, сглаживающая возможные нелинейности, она необходима для строго аналитического вывода.
Задача об оптимальном посеве команд фактически сводится к выбору перестановок вектора {1,2,...,N} в каждом раунде, так, чтобы сумма D по турниру была максимальной. Первое приближение авторы строят на предположении, что в каждом матче с вероятностью p=1 побеждает более сильная команда. В этом ключе авторы получают два решения, а затем показывают, что в вероятностной модели, когда p<1, эти решения все равно оказываются оптимальными, особенно для больших p.

Первое решение соответствует классическому посеву, авторы называют его «дальним» (distant seeding): в каждом раунде команда из «сильной» половины играет с командой из «слабой» половины. Это решение хорошо известно на практике, его целью является вывод сильных команд в финальную часть турнира в ущерб зрелишности на начальных этапах. При этом фактор качества матчей также непрерывно растет.

Второе решениие представляет собой так же известный, но менее распространенный вариант «близкого» посева (close seeding): (1;2), (3;4), (5;6), (7;8) то есть в первом же раунде самый сильные играет со вторым по силе, третий — с четвертым и так далее. Такая группировка создает зрелищные и напряженные матчи в самом начале, тогда как ближе к финалу накал спадает.

История спортивных турниров показывает, что предпочтение отдается обычно первому варианту посева, чтобы увеличить вероятность финала, в котором будут играть две сильные команды. Тем не менее, авторы статьи замечают, что при определенном соотношении параметров g и A, то есть «качества» и роста интереса при движении к финалу, «близкий» посев становится оптимальным.