«Математики — это национальность»

Одним из двух лауреатов премии имени Георгия Гамова 2019 года, наряду с химиком Валерием Фокиным из Университета Южной Калифорнии, стала Вера Серганова, профессор Университета Калифорнии в Беркли. N + 1 поговорил с Верой Сергановой о том, как в математике рождаются идеи, как они влияют на физиков и чем математика XXI века отличается от математики минувших веков.

N + 1: Вы так долго работаете в знаменитом Беркли. Расскажите, как там работается математику, как организован обмен идеями?

Вера Серганова: Да, правда, долго я там — 27 лет, с 1992 года. Да обычно никак не организован. Конечно, есть семинары, на семинарах делаются доклады. Но очень много простых связей. У тебя возникает вопрос — ты идешь к коллеге. Коллега отвечает на твой вопрос, или наоборот. Иногда в результате получается работа.

Я сейчас очень много работаю на расстоянии — у меня соавторы в основном не в Беркли, они в других местах. Мы разговариваем по скайпу. Это так замечательно, когда находишь людей, которые думают про те же вещи. И почти не важно, кто они по национальности. Математик — он всегда математик.

Но сохраняется ли ценность влиятельного университета как места работы, где рядом много нужных коллег — как это было в больших советских институтах?

Мне кажется, сейчас это менее важно. Когда вы уже нашли, с кем вы работаете, то уже не очень важно, где этот человек числится. Но находить себе подобных, чтобы работать, все-таки проще лично. Поэтому конференции — это очень важная вещь. На конференции кто-то выступает, ты слушаешь и понимаешь, что ты тоже что-то можешь здесь сделать. Начинается совместная работа.

Но математики много работают и в одиночестве, совсем не обязательно иметь соавтора. Это не такая командная работа, как экспериментальная наука. Кто как.

Понятно, что математика — это не коллайдер. Но все равно ведь важно иметь возможность подойти к коллеге и что-то обсудить, особенно на раннем этапе?

О да, конечно. Для меня этот этап был еще в Москве. Прекрасное было научное сообщество, начиная с замечательной математической школы. Была замечательная атмосфера, все друг другу очень помогали. И это было очень важно.

Американская культура математиков отличается?

Отличается! Например, семинары здесь проходят более формально, чем в России. Здесь очень редко бывает, чтобы человек оставался дольше назначенного времени.

Хотя разница не такая уж и большая. Мне кажется, математики примерно все везде одинаковые. Математики — это национальность, это такой специальный народ. Поскольку я училась в России, мне не всегда понятно, каково молодому человеку здесь, в США, входить в науку.

Вы преподаете в Беркли?

Да, преподаю. Осенью читаю общие курсы по математике, их слушают все будущие ученые — химики, физики. А весной буду, наоборот, преподавать алгебры Ли для аспирантов — только математиков. Но больше я люблю преподавать аспирантам.

То есть вы уже вводите молодых людей в науку. Как вы это делаете?

Честно говоря, я никогда про это не думала. Разговариваешь с ними, они задают вопросы. Я отвечаю на вопросы. У меня нет никаких теорий по этому поводу.

А каким был ваш путь, вы направленно шли заниматься теорией представлений?

Нет, это получилось случайно. Мои научные руководители тогда этим интересовались, и я этим заинтересовалась. Может быть, я бы заинтересовалась чем-то другим. Некоторые люди очень талантливые и с самого начала ставят себе задачи сами, но мои первые задачи были мне поставлены.

Вы помните их — свои первые задачи?

Самая первая задача — я вычисляла автоморфизмы и вещественные формы супералгебр Ли. Это была чисто алгебраическая задача — на 3-4 курсе университета. Это была не очень трудная задача, ученическая. Я работала тогда под руководством [Дмитрия] Лейтеса, ходила на семинар [Юрия] Манина.

В принципе, было понятно, как ее решать, не было никакой загадки, надо было аккуратно разобраться. Это была классификационная задача. А потом я занималась классификацией симметрических суперпространств, которая вроде как используется физиками.

Моя первая самостоятельная задача у меня долго-долго не получалась — это формула характера неприводимых представлений конечномерных супералгебр Ли. Я была тогда на последнем курсе и начала работать с Иваном Пенковым, в то время тоже студентом Манина. Мы много лет ее решали, в какой-то момент думали, что мы ее решили, — а потом я нашла ошибку.

Только потом, уже приехав в Америку, в Гарвард, я в конце концов эту задачу решила. Решила, разговаривая уже с другим человеком — Иосифом Бернштейном.

На чем основан ваш интерес к таким абстрактным вещам?

Для меня они очень конкретные, совсем не абстрактные. Да и не такие уж абстрактные эти вещи, которыми я занимаюсь. Там очень много комбинаторики. Я так вижу эту работу: есть какая-то загадка, и ее надо раскрыть, объяснить.

А потом задачу, которую я решила, через некоторое время решили другим способом — и это было прекрасное новое решение, через категорификацию. Я когда прочитала это решение, я стала больше интересовать теорией категорий, тензорными категориями.

Я не знаю, почему мне интересно представление о какой-либо алгебраической структуре. Так сложилась моя жизнь, мне это интересно.

А физическими приложениями вы не интересуетесь?

Не то чтобы мне была неинтересна физика. Но мне очень трудно общаться с физиками, как будто мы говорим на разных языках. Они иногда даже спрашивают меня, какой-нибудь физик может написать: «Как устроено представление вот такой супергруппы?» Ему зачем-то надо это знать, но я никогда не могу понять, почему это важно.

Мне очень приятно, конечно. И я отвечаю, как устроено, — если знаю. Потому что есть математическая задача, ее можно вычленить. И я доверяю физикам, раз им это нужно. Но я сама не смогла бы заниматься физикой.

Почему?

Потому что физики делают какие-то допуски, пренебрегают чем-то. Математик обычно хочет дать точный ответ, а у физиков это не совсем так. И я никогда не могла понять, чем надо пренебрегать.

Хотя теоретические физики мало отличаются от математиков. Разве только тем, что у них не такие строгие доказательства. Но как они додумываются в своих теориях, что нужно рассматривать, например, струну? Вот теория относительности — вроде понятно, но непонятно, как Эйнштейн придумал, что кривизна — самое главное в уравнении Эйнштейна.

А как вы приходите к постановке задач и к решениям?

Одна вещь ведет к другой, обычно из старой работы возникают новые вопросы. Иногда новое начинается с того, что кто-то задает тебе вопрос и ты понимаешь, что что-то можешь в этом направлении сделать. Но часто у тебя самой возникает вопрос, как устроены те или иные представления. И вот ты уже не спишь, а только и думаешь — так или эдак.

Я не могу объяснить, почему это такая загадка, которую ты очень хочешь понять. Или я вдруг утром просыпаюсь и думаю: боже мой, я же понимаю, как эту задачу решить.

Откуда берутся идеи — я не знаю. Когда я просыпаюсь и мне никуда не надо идти, я могу думать некоторое время, лежа в постели. И вот тогда приходят самые лучшие мысли. Вообще в отношении идей математики очень разные. Я говорю про себя, но я тут не могу обобщать.

То есть математику, чтобы думать, даже карандаш и бумага не нужны?

Нужны! Но утром можно без них. У меня была замечательная коллега Марина Ратнер, которая мне объяснила, как мы работаем. У нас все это получается только потому, что мы постоянно думаем. Вот ты идешь в магазин, ставишь коляску — и все время думаешь, думаешь, думаешь. И так все время — ты просто не можешь не думать.

Это началось все с решения задачек — были задачки, которые не отпускали тебя, пока ты не решишь. А потом ты сам начинаешь придумывать задачки — только и всего. Здесь на конференции [RASA-USA] все говорят о какой-то пользе от своих работ. И мне даже как-то стыдно, потому что от меня никакой пользы нет!

Это бесконечная дискуссия о пользе фундаментальной науки!

Ну да. Вот сейчас физики начали использовать p-адические. Кто бы мог подумать, что p-адический анализ пригодится в физике? Но как они это используют, я не могу понять! Иногда мне кажется, что если бы этого аппарата не было, они бы придумали что-то другое. А иногда я думаю, что существующий математический аппарат все-таки подталкивает физиков к новым теориям.

Вот например есть такая алгебра Ли E8. Некоторые физики считают, что эта алгебра E8 все объясняет. Почему? Это самая большая исключительная алгебра. Еще есть супергравитация — это еще одна вещь, с которой я хочу разобраться с точки зрения математики. Там добавляются нечетные переменные и уравнения пишутся, добавляя суперсимметрию. Насколько это подтверждается экспериментом? Как я понимаю, пока нет.

Вы находите красоту в своих задачах?

Да, конечно! Казалось бы, математика, тензорные категории — это что-то, что придумано людьми. Но на самом деле в них есть гармония — когда ты понимаешь, как все это устроено, и все становится на свои места, это какая-то красота пейзажа. Вы смотрите и видите, как все здорово, как все сложилось. Как вычисление объясняется общими принципами.

Общие принципы в математике — это очень важно. Мой замечательный одноклассник Миша Капранов говорит, что все надо доказывать из общих принципов. И в конце концов все оказывается очень просто, когда все понимаешь. В сущности, уравнение Эйнштейна — это очень просто. Вот в этом красота.

Математика — это язык. В математике XXI века или даже XX-го очень много всего было сделано по поводу языка, почти философского. Очень много общих понятий и определений, которые позволяют решать разные задачи — в математике и не только.

А какой была математика до этого, отличалась?

Мне кажется, да. Математика меньше была языком. Меньше давали определений и больше доказывали теорем. Математика была раньше более экспериментальная — как прямоугольный треугольник. А теперь мы даем определения — в какой-то мере это возврат к Евклиду, когда объект определяется через его свойства. Это аксиоматический подход, и он сейчас играет он важную роль.

Возьмите простую вещь — понятие группы. Где оно только ни используется, где только ни возникает. Общие методы теории групп применяются во многих областях математики и не только математики. Вот возникает понятие группы, пучка, категории, пункта. И это понятие может применяться в разных направлениях. И мне кажется, что такое развитие математики — это XXI век.

Как математики вводят понятия, дают определения?

Все начинается с примеров. Какое-то абстрактное понятие можно определить, дав пример. А понятие — это обобщение.

Например, понятие производного функтора, производной категории, пришло постепенно — сначала была теорема, были топологии. А потом это все собралось вместе. Возникла наука о том, как обращаться с комплексами. Теперь это аппарат, который все используют, все говорят на этом языке.

Какое ваше любимое определение?

Определение — не знаю. У меня есть любимая теорема. Я много лет занималась этими супергруппамми, супералгебрами. И было всегда ощущение, что это частный пример чего-то общего. И есть замечательная теорема Делиня, которая говорит, что если у вас есть тензорная симметрическая моноидальная категория и она достаточно маленькая, то это и есть представление супергруппы.

Эта теорема у меня сейчас любимая. Она говорит, что на самом деле пример супергрупп достаточно универсален. Придает смысл всему тому, чем я занималась.

Есть некоторые симметрические полиномы, которые зависят от параметра, и при определенном значении параметра они соответствуют задаче из теории представлений. И у меня есть такая идея, что, используя тензорную категорию, где параметр t — это размерность образующего объекта, мы можем получить все семейство, решая те же задачи. На лекции я это иллюстрировала цитатой из Хармса:

Жил один рыжий человек, у которого не было глаз и ушей.
У него не было и волос, так что рыжим его называли условно.
Говорить он не мог, так как у него не было рта.
Носа тоже у него не было.
У него не было даже рук и ног.
И живота у него не было, и спины у него не было, и хребта у него не было, и никаких внутренностей у него не было.
Ничего не было!
Так что непонятно, о ком идет речь.
Уж лучше мы о нем не будем больше говорить.

И только математик говорит: «Нет будем, будем!» Это и есть теория представлений без векторных пространств — человек, у которого ничего нет.

Вот какая есть важная идея. Люди долгое время рассматривали поверхности — то, что называется «многообразие», — и все делали там через точки. Идея такая, что вместо того, чтобы рассматривать точки, вы с самого начала берете функции. Рассматриваете функции как некий алгебраический объект. И из этих функций вы восстанавливаете все — и точки не нужны.

Беседовала Александра Борисова