Ум в порядок приводит

Зачем люди идут в математику? Что влечет их в эту довольно непростую область человеческого знания? N + 1 взял короткие интервью у лауреатов проекта «Математическая прогрессия» разных лет. Это федеральная программа поддержки молодых и талантливых математиков со всей России, которую совместно реализуют лаборатория имени Чебышева СПбГУ и компания «Газпром нефть» в рамках программы социальных инвестиций «Родные города». Мы поговорили с тремя математиками — Романом Бессонным, лауреатом проекта в 2014 году, Алексеем Ананьевским, лауреатом 2015 года, и Марией Платоновой, получила награду в 2018 году. Вот их ответы.

N + 1: Чем вы сейчас занимаетесь и как пришли в эту область? Какой была первая задача, поставленная перед вами научным руководителем?

Первую научную математическую задачу мне предложил мой научный руководитель, Владимир Владимирович Капустин, когда я был на 5 курсе. Это было десять лет назад. Задача представляла собой вопрос о количественной характеристике (константе гиперрефлексивности), отражающей возможность восстановления алгебры операторов по инвариантным подпространствам этой алгебры. На 5 курсе было много свободного времени для занятий математикой, и я с головой окунулся в этот интересный мир.

Задачу, которую предложил мне В.В., сам он услышал от своих коллег на одной конференции. Этот факт стал для меня дополнительным стимулом — всегда интересно ответить на вопрос, который задали другие математики. В итоге задача оказалась не очень сложной (хотя мне пришлось самостоятельно изучить гору новой литературы), и я решил ее примерно за полгода — одновременно с математиками, задавшими В.В. этот вопрос. Мы опубликовали совместную статью, и так я стал математиком.

Почти всегда оказывалось, что результаты, которые у меня получались, не только давали ответы на поставленные вопросы, но и сами порождали новые интересные задачи. Таким образом я постепенно попробовал задачи в теории операторных алгебр с помощью модели Надя-Фойша, затем занялся изучением усеченных операторов Теплица, каноническими гамильтоновыми системами и, наконец, сейчас интересуюсь связями ортогональных многочленов с обратными задачами для дифференциальных операторов второго порядка. В целом в задачах и теоремах я ценю простоту формулировки и ответа, а также наличие связей между различными математическими областями.

Расскажите о вашем самом ярком результате?

Пожалуй, больше всего мне нравится результат, полученный недавно совместно с Сергеем Денисовым. Это вариант знаменитой теоремы Сеге из теории ортогональных многочленов (коэффициенты рекурсии меры квадратично суммируемы тогда и только тогда, когда ее логарифмический интеграл конечен), сформулированный и доказанный для мер на вещественной прямой и канонических систем дифференциальных уравнений.

В этой области некоторое время работали и интересовались близкими вопросами несколько выдающихся ученых: Колмогоров, Винер, М.Г. Крейн, де Бранж. Очень приятно почувствовать себя в хорошей компании. Кроме того, интересно, что результат имеет «физическую» переформулировку: он описывает распределение плотности неоднородной колеблющейся бесконечной струны, спектральная мера которой имеет сходящийся логарифмический интеграл.

Последнее означает, нестрого говоря, что мы слышим гармоники всех частот, когда струна колеблется, а не только ноту «ми» как на первой или шестой струне обычной гитары.

Как получилось, что вы стали заниматься тем, чем сейчас занимаетесь?

На первых курсах университета нас старались познакомить с довольно широким кругом математических дисциплин и показать то, какие объекты и какими методами они изучают. Многое из того, что я видел, казалось мне довольно рутинным, и у меня редко получалось оценить красоту оценок и неравенств, доказываемых в аналитических областях математики, часто оставалось какое-то ощущение недосказанности. С другой стороны, алгебраические методы такого ощущения не вызывали почти никогда: они были гораздо более ясными и прозрачными, а изучаемые понятия казались значительно ближе к миру идей. Разумеется, я стал заниматься тем, что было интереснее.

Потом я стал больше интересоваться алгебраической топологией и алгебраической геометрией, которые сочетают в себе ясность и строгость алгебраических доказательств с геометрической и пространственной интуицией. Это во многом было обусловлено тем, какие задачи предлагал мне научный руководитель. Сейчас я в основном занимаюсь мотивной теорией гомотопий, это довольно молодая область математики, появившаяся около двадцати лет назад и находящаяся на стыке алгебраической геометрии и топологии.

Какой была первая задача, поставленная вам научным руководителем?

Разумеется, сначала было много учебных задач. Первая по-настоящему исследовательская задача касалась изучения алгебраических векторных расслоений над октионной проективной плоскостью. Нужно было посчитать алгебраическую K-теорию октонионной проективной плоскости, если быть точным.

Про K-теорию и векторные расслоения я скажу чуть позже, давайте сначала поговорим немного об октонионной проективной плоскости. Октонионы — это такая исключительная неассоциативная восьмимерная алгебра, которую можно определить, итерируя процесс построения комплексных чисел (путем добавления «мнимых единиц»).

Для вещественных и комплексных чисел можно легко определить проективное пространство размерности n — это просто многообразие прямых в векторном пространстве размерности n + 1, проходящих через ноль. Аналогично можно определить и кватернионные проективными пространства, только надо быть немного аккуратнее, поскольку умножение кватернионов некоммутативно.

Октонионы же неассоциативны, поэтому такое наивное определение не работает (в частности, не понятно, что такое прямая), и вообще получается определить октонионные проективные пространства только размерности 1 и 2, пространств старшей размерности нет. Определение октонионной проективной плоскости было впервые предложено Рут Муфанг в 1933 году и обычно дается в терминах матриц 3 × 3 специального вида.

Это многообразие является однородным, на нем транзитивно действует исключительная группа типа F₄, и сама плоскость может быть отождествлена с однородным многообразием F₄/Spin(9). Как оказалось, алгебраическую K-теорию октонионной проективной плоскости можно посчитать, основываясь на этом отождествлении и изучая теорию представлений групп F₄ и Spin(9).

А что такое, если коротко, К-теория? И мотивные гомотопические группы?

Попробую описать некоторые понятия, с которыми работает K-теория. Довольно часто бывает так, что мы хотим изучить какие-то объекты, причем эти объекты мы можем складывать, как числа, но, вообще говоря, не умеем их вычитать. Тогда можно определить группу, называемую группой Гротендика, формально добавив «противоположные» объекты.

Аккуратно это делается следующим образом: надо рассмотреть пары объектов (a,b), про которые надо думать как «a - b», и отождествить пары (a,b) с (a + c, b + c) для всех a,b,c. Например, если взять натуральные числа и операцию сложения, то группой Гротендика будут целые числа; если взять натуральные числа относительно умножения, то получатся положительные рациональные числа — в этой ситуации про пару (a,b) надо думать как про a/b, и дробь a/b конечно же равна ac/bc.

Конструкцию группы Гротендика можно применять не только к числам, но и к другим объектам — например, можно взять все (с точностью до изоморфизма) вещественные векторные пространства конечной размерности, а в качестве операции взять прямую сумму; тогда группой Гротендика снова будут целые числа, потому что с точностью до изоморфизма векторные пространства классифицируются размерностью.

Пример с векторными пространствами можно обобщить в двух направлениях. Одно из них заключается в том, что можно брать модули над каким-нибудь кольцом A (то есть «коэффициенты», на которые можно умножать «вектора», принадлежат не полю вещественных чисел, а кольцу «A» — например, целым числам, или кольцу многочленов, или кольцу функций какого-то вида). Правда, в этой ситуации обычно ограничиваются так называемыми проективными модулями, то есть прямыми слагаемыми модулей вида Rⁿ. Получившаяся группа обычно обозначается K₀(A) или K(A). Алгебраическая K-теория изучает эти группы и производные от них.

Другой вариант обобщения — можно взять топологическое пространство X и вместо векторных пространств рассмотреть векторные расслоения на X, то есть непрерывные семейства векторных пространств, параметризованных точками X. Типичный пример — касательное расслоение к гладкому многообразию в Rⁿ: каждой точке многообразия можно сопоставить гиперплоскость, касающуюся многообразия в этой точке, и несложно видеть, что при движении точки по многообразию эти гиперплоскости меняются непрерывно.

Еще пример — расслоение Мебиуса на окружности: надо взять прямоугольный лист бесконечной высоты, то есть R × [0,1], и склеить из него лист Мебиуса, то есть отождествить (v,0) с (-v,1). Здесь каждой точке x окружности (отрезка [0,1] с отождествленным концами) соотвествует линейное пространство — пары чисел (v,x) на листе Мебиуса, где x — та самая точка.

Группа Гротендика векторных расслоений на пространстве X, обозначаемая K(X), является интересным инвариантом пространства X, причем этот инвариант является гомотопическим — в частности, для стягиваемого пространства X (например, шара) группа K(X) изоморфна группе целых чисел. Эти инварианты изучает топологическая K-теория.

На самом деле между описанными выше группами K(A) и K(X) есть тесная связь, называемая соответствием Серра-Суона: если для компактного топологического пространства X рассмотреть кольцо A непрерывных вещественнозначных функций на нем, то группы K(A) и K(X) оказываются изоморфными. Это соответствие позволяет применять топологическую интуицию при изучении алгебраической K-теории.

Однако непосредственно применить топологические методы в алгебраической ситуации обычно весьма трудно: например, если немного пошевелить график множества решений системы полиномиальных уравнений (а множества именно такого типа рассматриваются в алгебраической геометрии), то полученное множество зачастую уже не будет задаваться набором полиномиальных уравнений. Тем не менее, есть изощренные способы, позволяющие систематически применять топологические методы при изучении задач алгебро-геометрической природы, и общий контекст для этих методов дает мотивная теория гомотопий, которая унаследовала многие методы и техники алгебраической K-теории.

Говоря очень приближенно, мотивная теория гомотопий — это теория гомотопий в мире абстрактной алгебраической геометрии.

Каким был ваш самый яркий результат?

Самым интересным результатом мне кажется доказательство свойства жесткости для обобщенных мотивных теорий когомологий, который мы получили вместе с Андреем Дружининым. В классической топологии все многообразия локально выглядят как шар в n-мерном пространстве и поэтому локально стягиваемы, а значит, все гомотопические инварианты (когомологии, K-группы, гомотопические групп и прочее) локально постоянны, то есть значение на маленькой окрестности точки равно значению в точке.

В алгебраической геометрии многообразия тоже в некотором смысле локально одинаковые, надо только добавить еще несколько уточняющих технических слов, которые я не буду пояснять, — гладкие многообразия выглядят одинаково локально в топологии Нисневича.

Однако алгебраические многообразия ни в каком смысле не являются локально (алгебраически) стягиваемыми. Тем не менее, Офер Габбер около 35 лет назад доказал, что аналогичное утверждение о локальной постоянности верно для алгебраической K-теории с конечными коэффициентами. Такое свойство локальной постоянности называют свойством жесткости.

Разные группы авторов в разные годы изучали доказательство Габбера и доказывали свойство жесткости для новых алгебро-геометрических инвариантов. Мы же с Андреем получили в некотором смысле самый общий вариант такого свойства жесткости, доказали, что оно имеет место для произвольного мотивного гомотопического инварианта с конечным коэффициентами. Причем, хотя мы тоже отчасти вдохновлялись доказательством Габбера, наше подход абсолютно самодостаточен и не опирается ни на какие предыдущие результаты в этом направлении.

Как сейчас устроена теория мотивных гомотопических групп? В смысле, в мире?

Мотивная теория гомотопий — очень молодая область математики, ей около 20 лет (для фундаментальной математики это очень мало), поэтому сейчас она переживает стадию активного развития. Появляются новые люди, занимающиеся этой наукой, проводятся конференции и воркшопы, доказываются новые структурные результаты, начали появляться очень интересные приложения в смежных областях математики.

Например, Дэниэл Айсаксен при помощи мотивных методов посчитал около 30 новых стабильных гомотопических групп сфер (точнее, 2-кручение в них), до этого года были известны всего около 60 групп. Идеи, связанные с так называемой мотивной слайс-фильтрацией, были использованы Майклом Хиллом, Майклом Хопкинсом и Дугласом Равенелем при решении задачи об инварианте Кервера в размерностях больше 254 (это важная задача дифференциальной геометрии, которая может быть переформулирована на языке стабильной теории гомотопий). И хотя мы сейчас понимаем гораздо больше, чем, скажем, пять лет назад, в этой области все еще остается огромный простор для исследований.

Как получилось, что вы выбрали именно случайные процессы?

Я училась на физическом факультете и на третьем курсе из случайных процессов знала только, что такое броуновское движение. Мне понравилось направление исследований моего научного руководителя Наталии Васильевны Смородиной, связанное с вероятностными подходами к задачам математической физики. Мне тогда было интересно (да и сейчас тоже) решать задачи, связанные сразу с несколькими направлениями в науке.

Какой была первая задача, поставленная перед вами научным руководителем?

Для уравнения теплопроводности вероятностное представление решения задачи Коши известно давно. Также известно, что для задач с операторами высокого порядка классический подход не работает. Мне нужно было построить вероятностное представление решения задачи Коши для эволюционного уравнения с оператором дробного дифференцирования высокого порядка.

Наверное, если бы изначально задача имела именно такую формулировку, я бы пришла в ужас. Но она была разбита на несколько частей, каждую из которых мы обсуждали отдельно. Поэтому у меня все получилось.

Как дальше развивалась ваша работа в науке?

Я втянулась. Этому способствовали и научный руководитель, и кафедра, и Лаборатория имени Чебышева. Помимо, собственно, денег, там очень классная атмосфера. Она мотивирует продолжать работу, даже когда совсем ничего не получается. У нас много семинаров по разным специальностям, это способствует циркуляции идей. Иногда услышишь что-то на чужом семинаре, и в голову приходит идея, которая помогает решить уже твою задачу.

В Лабораторию приезжают специалисты в разных областях математики, у них можно поучиться чему-то новому, обсудить последние результаты и задачи в их области. Сейчас я со своим научным руководителем продолжаю развивать подходы, которые возникли при решении той самой первой задачи. Недавно, например, удалось доказать, что наш подход работает и для уравнений типа Шрёдингера.

Каким был ваш самый яркий результат?

Я расскажу про один из недавних результатов. Пусть в начальный момент времени у нас есть одна частица, которая случайно блуждает по d-мерной решетке. В некоторых точках частица может погибнуть и перед своей смертью произвести случайное число потомков. Каждая из новых частиц эволюционирует так же как и первоначальная, независимо от других частиц в системе.

Такие модели называются ветвящимися случайными блужданиями. Мы изучаем поведение таких систем за большой промежуток времени. Хотя постановка задачи и вероятностная, изучение сводится к анализу некоторого эволюционного уравнения, исследованию спектральных характеристик некоторого оператора и асимптотическому анализу. Оператор, который мы изучаем, это дискретный оператор Лапласа. Спектральные характеристики такого оператора связаны, например, с описанием электромагнитных волн в твердых телах.

Кстати, простейший ветвящийся процесс связан с задачей о вырождении фамилий (процесс Гальтона-Ватсона, 1874 год). Пусть имеется один прародитель — основатель фамилии. Далее эта фамилия переходит к его сыновьям, его внукам из семей сыновей и так далее. Если через Z(n) обозначить число потомков прародителя по мужской линии в n-м поколении, то вопрос о вырождении фамилии сводится к решению уравнения Z(n) = 0 при некотором n.