Для всех размерностей

Международный математический союз в начале августа объявил новых лауреатов Филдсовской медали, «нобелевской премии» для математиков. Одну из четырех наград получил Каушер Биркар, курдский беженец, математик, обосновавшийся в Великобритании, чья работа оказалась неразрывно связана с советской математической школой, основанной Игорем Шафаревичем и Юрием Маниным. Редакция N + 1 попросила математика Ивана Чельцова, «соученика» Биркара, рассказать о значении его работ и их корнях.

Точная мотивировка решения жюри Филдсовской премии, которое присудило награду Каушеру Биркару, звучит так: «За доказательство ограниченности многообразий Фано и вклад в программу минимальной модели». Развернутую мотивировку можно прочитать здесь, но главное достижение Биркара — он смог доказать гипотезу Борисова-Алексеева-Борисова. Это очень важная и глубокая гипотеза. Проблема в том, что ее трудно описать просто. Даже алгебраистам-геометрам.

Чтобы понять смысл работ Каушера Биркара, необходимо много лет учиться. Даже не все студенты-старшекурсники, которые специализируются в области алгебраической геометрии, могут ухватить их суть без продолжительного труда. Но можно попробовать обрисовать хотя бы подступы к этому «зданию».

Для этого надо объяснить, что такое многообразие. Есть два математических объекта, которые на русском языке обозначаются этим словом, — дифференциально-геометрические многообразия (по английски “manifold”) и алгебраические многообразия (по английски “variety”). Речь пойдет именно об алгебраических многообразиях, которые, согласно определению, представляют собой множество решений системы алгебраических уравнений.

Возьмем, например, уравнение x² + y² = z². Если переменные x, y и z — целые числа, то множеством решений будут наборы чисел, которые называют пифагоровыми тройками. Если это действительные числа, то множество решений будет выглядеть как конус в трехмерном пространстве. Если мы возьмем комплексные числа, то уже не сможем отобразить их в трехмерном пространстве.

Алгебраические многообразия невероятно разнообразны, и главная задача бирациональной геометрии — области, в которой работает Биркар, — найти способ классифицировать алгебраические многообразия с точностью до бирациональной эквивалентности. Корни такой классификации восходят к работам Бернхарда Римана, который изучал одномерные комплексные многообразия. Каждому такому многообразию могут быть сопоставлены римановы поверхности, чьи свойства «унаследованы» от комплексных чисел. Такие поверхности могут быть разделены на три разных типа — с положительной кривизной, как у сферы, с нулевой кривизной, как у тора, и отрицательной кривизной, как у тора с приклеенными «ручками». Число «ручек» дает возможность классифицировать одномерные многообразия.

Двумерная бирациональная геометрия и классификация алгебраических поверхностей началась с работ итальянских геометров — Кастельнуово, Энриквеса, Севери и других. У них учился итальянский математик Джино Фано, заложивший основы трехмерной бирациональной геометрии. Фано пытался определить, верно ли, что любое подполе поля рациональных функций (скажем поле всех рациональных функций от x² будет подполем функций от x) тоже является полем рациональных функций от конечного числа переменных. На геометрическом языке это значит следующее: верно ли, что каждое унирациональное многообразие рационально? Унирациональные и рациональные многообразия допускают параметризацию рациональными функциями. Но для рациональных такая параметризация дает одно значение параметров для общей точки многообразия, а для унирационального возможно несколько.

Немецкий математик Якоб Люрот показал, что это верно для одномерных многообразий (алгебраических кривых). Итальянские геометры (Кастельнуово) в начале XX века доказали это для двумерных многообразий (алгебраических поверхностей). Это сразу следует из критерия рациональности алгебраической поверхности, который нашел Кастельнуово. Такого критерия, к сожалению, нет в размерности 3. Поэтому вопрос о том, верно ли это для большего числа переменных, долгое время оставался открытым.

Фано пытался найти контрпримеры, то есть доказательства, что это утверждение неверно для кубических гиперповерхностей в четырехмерном пространстве и для гиперповерхностей степени 4. Он сформулировал общую идею, как можно такие контрпримеры найти, — это было в 1934 году. Тогда еще не было общего правила делать строгие доказательства, достаточно было изложить идею.

Затем началась война, и только в 1950-1960-е годы математики начали уточнять и «додоказывать» уже строго эти утверждения. Тогда знаменитый советский математик Юрий Манин поставил своему ученику Василию Исковских задачу: восстановить аргументацию Фано и передоказать его утверждения строго. В итоге он вместе со своим учителем восстановил доказательство Фано и описал его в знаменитой статье 1971 года, где они доказали нерациональность каждой неособой трехмерной квартики. Унирациональность некоторых таких квартик была известна еще Фано. В то же время два американских математика, Гриффитс и Клеменс, доказали, что каждая неособая трехмерная кубика нерациональна, что также дало контрпример в гипотезе Люрота в размерности три, поскольку все неособые многомерные кубики унирациональны.

В 1960-е годы в московском Математическом институте имени Стеклова работало множество очень сильных математиков. Это не случилось само собой: это было продолжение советской тенденции к централизации, когда в Москву стремились попасть все самые талантливые люди Советского Союза. Поэтому в двух комнатах в «Стекловке» могло сидеть сразу 20 специалистов по алгебраической геометрии мирового уровня, а в Штатах — и тогда, и теперь — они рассеяны по десятку университетов в разных концах страны. Но эта концентрация, конечно, порождала совершенно особую атмосферу. И Игорь Шафаревич, затем Манин воспитали целую плеяду учеников, которые сыграли важную роль в этой истории.

Исковских в конце 1970-х годов стал анализировать класс многообразий, которые соответствуют утверждениям Фано, нашел, чтó между ними общего, и предложил называть их многообразиями Фано. Точное определение их звучит так: многообразия с обильным антиканоническим дивизором. Для дифференциальных геометров можно сказать, что многообразия Фано — это комплексные многообразия с положительным первым классом Черна.

В итоге появились три типа многообразия — многообразия общего типа, многообразия Калаби-Яу и многообразия Фано. Например, если многообразие задано одним уравнением (гиперповерхность) степени d в пространстве размерности m, то это многообразие будет многообразием Фано, если d меньше или равна размерности пространства m. Если d равно m + 1 — Калаби-Яу, а если d больше m + 1 — общего типа. Эти различия можно определить геометрически, через кривизну пространства. Для многообразий Фано эта кривизна будет положительная, для Калаби-Яу — нулевой, а общего типа — отрицательной.

Потом Сигефуми Мори построил теорию (и за это ему дали Филдсовскую медаль), из которой следовало, что многообразия Фано являются такими «строительными элементами», кусками многообразий, которые называют рационально связанными, то есть многообразиями, которые покрываются рациональными кривыми. Но из этого возникла новая проблема. Дело в том, что начиная с размерности три рассматриваемое многообразие должно быть особым, иначе говоря, в нем должны быть особые точки, где возникает бесконечность, или точки самопересечений. Такие точки называют также сингулярностями. Иначе теория Мори не работает.

Тогда Исковских попросил своего ученика Валерия Алексеева для тренировки попытаться найти поверхности дель Пеццо — это многообразия Фано с размерностью два — с особыми точками. У Алексеева получилось, что их бесконечно много. Однако при этом выяснилось, что есть некий параметр, который отсекает этот бесконечный хвост, и остается конечное число поверхностей дель Пеццо.

Исковских был очень обрадован и поставил задачу найти такое же решение для торических многообразий Фано уже братьям Борисовым, которые тогда заканчивали мехмат. И у них получилось. Они доказали то, что Алексеев сделал для двумерного случая, но только для узкого класса алгебраических многообразий — для торических. Так и получилась гипотеза Борисова-Алексеева-Борисова, BAB-гипотеза. Но проблема этой гипотезы была в том, что она была очень глубокая, а с другой стороны — очень технически сложная. Про нее не знали даже многие специалисты в алгебраической геометрии. Но из этой гипотезы стали выводить много других утверждений, например жордановость групп Кремоны всех размерностей (это результат Юрия Прохорова и Константина Шрамова, в размерности 3 им хватило специального случая гипотезы Борисова-Алексеева-Борисова, который был доказан ранее Колларом, Мори, Мияокой и Такаги).

Исковских сыграл важную роль и в другой половине этой истории: он привлек к работе в области алгебраической геометрии Вячеслава Шокурова. Тот был поколением старше Алексеева и братьев Борисовых и смог овладеть всем инструментарием в этой области. В конце 1980-х годов Шокуров разработал новую, более общую форму программы минимальных моделей, нашел новые методы бирациональной классификации многообразий в более высоких размерностях и доказал свою знаменитую теорему о трехмерных лог-флипах. Уже в 2003 году он расширил свою более раннюю работу о флипах для размерности 3 и доказал, что этот метод применим и для размерности 4.

Благодаря своим работам по бирациональной геометрии Шокуров стал известен во всем мире и в 1990-х годах стал профессором в университете Джонса Хопкинса в Балтиморе. Его работы начали активно изучать, и не удивительно, что Биркар с самого начала хотел учиться именно у Шокурова. Когда он приехал в Великобританию, у него был статус беженца, он не мог покинуть страну. Поэтому он пошел в аспирантуру к Ивану Фесенко в университет Ноттингема, но честно ему сказал, что будет учиться у Шокурова. И стал заниматься с ним, переписывался по электронной почте, а потом, когда уже получил нормальный паспорт, ездил к нему в Америку и в Москву.

У Шокурова не слишком много учеников — девять человек. Он работал в хорошем университете, но это не Гарвард и не Стэнфорд. Самые сильные студенты, как правило, поступают в другие университеты — в Принстон, MIT, Стэнфорд. Это лучше для карьеры. С другой стороны, сам Шокуров достаточно сложен в общении. Вы можете задать ему вопрос и получить от него ответ на, казалось бы, совершенно другую тему. И только после нескольких дней размышлений можно наконец понять, что он имел в виду, с какой стороны он увидел проблему.

Безусловно, у Биркара есть талант понимать, и, безусловно, сам он очень оригинальный и сильный ученый. Он доказал BAB-гипотезу для всех размерностей очень оригинально и красиво. В 2016 году он опубликовал две статьи, в которых привел полное доказательство этой гипотезы. Но это не единственное, что он сделал в математике.

Больше 10 лет назад он вместе с Хайконом, Маккернаном и Кассини доказал конечную порожденность канонического кольца для многообразий основного типа. Этой гипотезе было почти 100 лет. После этого он получил глубокие результаты в бирациональной геометрии над конечными полями. Доказал частный случай гипотезы Иитаки, получил важные и технически сложные результаты в классической лог-программе минимальных моделей.

Причем он всегда брался только за самые сложные и самые важные открытые задачи. Тут нельзя не вспомнить одну из самых трудных таких задач: гипотезу об избыточности (abundance conjecture). Как часто упоминал сам Биркар в своих докладах, из этой гипотезы можно вывести большинство уже решенных задач многомерной бирациональной геометрии. Но гипотеза об избыточности до сих пор открыта в высших размерностях, несмотря на многочисленные попытки ее доказать.

На данный момент есть два человека, которым она, возможно, по зубам: Биркар и Шокуров. И я уверен, что они работают над ней. Будем надеяться, что они смогут ее доказать.

Беседовал Сергей Кузнецов