Чистая математика

Математика — не только царица всех наук, но еще и основа всех пластических искусств. Чтобы в этом убедиться, не обязательно читать философские трактаты или глубокомысленно рассуждать о числе как о начале бытия. Достаточно вооружиться чистым листом бумаги, линейкой, циркулем и подходящим руководством к действию, чтобы убедиться, какие простые геометрические и логарифмические последовательности лежат в основе самых разных типов изображений. Мы приведем три таких примера, которые мы нашли на сайте Artful Maths.

1. Первый из них в англоязычной версии называется задачей про жуков, хотя по-русски ее больше знают как задачу про мышей. Она звучит так: если в каждом углу некоего правильного многоугольника (обычно для простоты берется квадрат) сидит по жуку, и каждый из них начинает двигаться в сторону своего соседа, то когда жуки встретятся, учитывая, что все они движутся в одну сторону с одинаковой скоростью?

Понятно, что все жуки встретятся в одно и то же время, так как расстояние между двумя сосеними жуками все время уменьшается, а их скорость постоянна. Во всех случаях мыши будут двигаться по логарифмической спирали, которая сойдется в центре многоугольника. Но нас в данном случае интересует не само решение такой задачи, а те графические возможности, которые возникают из траектории подобного движения. На гифке ниже видно, что спирали, оставляемые за собой жуками, могут иметь довольно причудливые формы — особенно если жуки будут гоняться друг за другом не в квадрате, а в более сложном многоугольнике.

2. Следующий пример демонстрирует, что знаменитые кельтские шнуровые орнаменты, хотя и были придуманы две тысячи лет назад, опирались на строгие математические последовательности. Первоначально, по-видимому, они и представляли из себя результат плетения веревок, но в христианскую эпоху стали встречаться на пергаменте, где с их помощью изображались фигурки людей, зверей и растений. Вариантов кельтских орнаментов существует множество, но, во-первых, всем им свойственна геометрическая строгость, а во-вторых, все они представляют собой более или менее сложный вариант плетения.

В математическом смысле часть кельтских орнаментов можно рассматривать как трехмерный вариант фигур Лиссажу — замкнутых кривых, которые прочерчивает маятник, колеблющийся одновременно в двух плоскостях.

Ниже на гифке можно увидеть, как рисуется простейшая форма кельтского линейного шнурового орнамента.

3. Более сложные примеры взяты из истории искусства совсем другой культуры — мусульманской. Мусульманский геометрический орнамент, или гирих — от персидского слова, означающего «узел», состоит из стилизованных прямоугольных и полигональных фигур и линий. Для их воспроизведния достаточно вооружиться линейкой и циркулем, но в основе их лежат довольно сложные математические вычисления. Изначально они носили символическое значение и были тесно связаны с астрономическими наблюдениями. Чтобы бегло представить себе все богатство и разнообразие орнаментов такого типа, достаточно познакомиться с такими памятниками мусульманской архитектуры, как мавзолей Хафиза Ширази в Иране, мечеть султана Хасана в Каире, Дворец сорока колонн («Чехель сотун») персидского шаха Аббаса II в Исфахане, дворец Альгамбра в Испании и другие. Ниже мы приводим две иллюстрации, показывающие, как размечаются два базовых элемента мусульманского орнамента.

Сергей Кузнецов