Замки из песка
Математики выяснили, как возникают природные колонны и арки
Естественные арки, колоннады, застывшие в странном положении камни и другие экзотические природные монументы из песчаника всегда привлекали внимание людей. Их необычная форма оставляет впечатление скорее хорошо продуманной инженерной конструкции, чем результата природного процесса. Тем не менее, эти формы возникают под воздействием двух сил — давления и эрозии. Математики из Сколтеха решили смоделировать эти процессы на примере известных зданий и записали получившиеся результаты на видео.
Ученым было понятно, что эти причудливые конструкции возникают в результате скульптурной работы воды и ветра, но до последнего времени было неясно, почему в результате возникают такие нетривиальные формы. В 2014 году группа чешских ученых под руководством Иржи Брутанса (Jiri Bruthans) предположила, что дело в отрицательной обратной связи, которая возникает между давлением и эрозией. Иначе говоря, чем большее давление испытывают частицы внутри куска песчаника, тем меньше скорость эрозии, и наоборот — чем меньше давление, тем быстрее разрушается этот кусок.
Мы сталкиваемся с этим явлением каждую весну, когда видим, что утоптанный снег на тропинках исчезает значительно позже, чем сугробы по сторонам от нее. Брутанс и его коллеги провели серию экспериментов, размывая массивы спрессованных частиц водой, и им удалось получить формы, очень похожие на природные колоннады и арки.
Ученые из Сколтеха, Игорь Останин, Александр Сафонов и Иван Оселедец, разработали математическую модель этого процесса и описали ее в статье, опубликованной в журнале Scientific Reports.
Как оказалось, для моделирования эрозии песчаника очень хорошо подходят методы, которые применяются в топологической оптимизации конструкций — то есть в тех случаях, когда нужно облегчить конструкцию, убрав из нее лишний материал, но сохранив прочность.
Мы разбивали область на элементы, при этом каждому элементу присваивалась величина, меняющаяся от 0 до 1, при этом 1 соответствовала неразрушенному материалу (и максимальной прочности), объясняет Александр Сафонов. В результате первыми «выветривались» элементы в зонах с минимальным давлением, то есть на границах или в местах, которые оказывались под «арками».
По просьбе N + 1 Александр Сафонов продемонстрировал работу его алгоритма на примере известных зданий. На видео ниже показано, как именно шла бы эрозия, если бы эти строения состояли из песчаника. Каждое из них было «собрано» из конечных элементов — от 76 тысяч до 490 тысяч. В последнем случае время расчета для модели составило около 35 часов. «Нужно добавить, что это алгоритм для материалов, которые выветриваются (например, песчаник), и алгоритм только предсказывает возможную форму, но не длительность процесса», — сказал ученый.
Разными цветами на видео показаны значения давления, оранжевый соответствует максимальному давлению, темно-синий — минимальному.
Так будет разрушаться Биг-Бен:
.
Колизей в Риме:
Эйфелева башня:
Статуя Свободы:
Главное здание МГУ:
Собор Парижской Богоматери:
Собор Святого Семейства в Барселоне:
Сиднейский оперный театр:
Сергей Кузнецов
Для доказательства апериодичности мозаики ученые показали иерархичность ее структуры
Математики нашли невыпуклый многоугольник, которым можно замостить плоскость только апериодически. Чтобы доказать принципиальную апериодичность паркета из таких элементов, ученые предложили свой собственный метод, в котором обосновывают геометрическую несоизмеримость иерархической структуры образующейся мозаики. По словам ученых, на основе найденного 13-угольника можно построить целый класс многоугольников с подобными свойствами. Препринт с результатами исследования опубликован на arXiv.org.