Изящное отрицательное решение

На 94 году жизни скончался математик Игорь Шафаревич

Konrad Jacobs, Erlangen / Wikimedia Commons

19 февраля не стало математика Игоря Ростиславовича Шафаревича. Математическое наследие Шафаревича, дожившего до 93 лет, огромно. Его известность за пределами математического мира тоже необычно велика. Но здесь о публицистике и общественной деятельности Игоря Ростиславовича мы сознательно умолчим. Не станем делать и обзор основных его научных достижений — среди них много замечательных результатов, но такой обзор мало что скажет нематематику. Мы расскажем лишь об одном его открытии.

Из всех теорем Шафаревича мы выбрали одну, точнее, даже не теорему, а следствие из нее, мимоходом закрывшее изящный вопрос из теории групп, сформулированный за 60 лет до этого, — оно отрицательно решило общую проблему Бернсайда. Это красивая история, в которой Шафаревич появляется как известный актер в камео — с короткой и яркой репликой.

Коротко напомним, что такое группа: это в некотором смысле простейшая алгебраическая конструкция — множество элементов, на котором определена бинарная операция. Операция, условное «умножение», должна обладать свойством ассоциативности a*(b*c) = (a*b)*c, кроме того, в множестве должен быть особый элемент e, называемый нейтральным, — это своего рода «единица», и у каждого элемента должен быть обратный, то есть такой, что a * a-1 = a-1 * a = e. Группы совершенно повсеместны и в математике, и в жизни: например, множество целых чисел относительно сложения — группа (нейтральный элемент в ней, конечно, ноль), причем группа коммутативная, потому что a+b=b+a. Вообще говоря, это свойство вовсе не обязано выполняться в группе, и здесь можно привести пример из жизни: если взять множество всех преобразований кубика Рубика — то есть любых наборов последовательных поворотов граней, а в качестве операции взять композицию двух преобразований, то есть выполнение их одно за другим, получится группа. Ее нейтральным элементом является тривиальное преобразование (когда вы просто не трогаете грани), чтобы получить обратное преобразование, нужно совершить все вращения в обратную сторону и в обратном порядке. В этой группе коммутативности нет — порядок вращений влияет на результат, в этом каждый может легко убедиться сам.

Группы бывают бесконечными, как целые числа, и конечными, как группа кубика Рубика (кстати, ее порядок — то есть количество элементов — очень велик, это 20-значное число). Эти два примера вообще хорошо иллюстрируют, насколько разными бывают группы. Вся группа целых чисел, ее обычно обозначают Z, получается из единицы (напомним, что нейтральный элемент в Z это ноль): все остальные целые числа, это единица (и обратная к ней −1), сложенная сама с собой нужное количество раз, или, если говорить в более привычных теоретико-групповых терминах, возведенная в нужную степень. В группе кубика Рубика такого элемента нет: понятно, что в ней содержатся как минимум вращения перпендикулярных граней, которые не получить друг из друга никаким возведением в степень (то есть многократным повторением). Но если взять набор из поворотов всех (кроме центральных) граней на 90 градусов, то получится система из 6 образующих, с помощью которой можно получить любое другое преобразование кубика Рубика.

Если сравнивать эти два примера, то конечная группа кубика Рубика выглядит намного сложнее, чем бесконечная группа целых чисел Z. В общей ситуации это, конечно, не так, но конечные группы — действительно на удивление заковыристый объект. Достаточно упомянуть, что задача классификации конечных групп была решена за 50 лет в сериях работ сотни математиков. Доказательство теоремы, что любая простая конечная группа (а из таких можно построить и все остальные конечные группы) относится к одному из 4 известных классов, претендует на то, чтобы быть самым длинным и недоступным для стороннего понимания в истории математики. Оно опубликовано на нескольких тысячах страниц, и не все специалисты уверены, что это доказательство в самом деле полное.

Гипотеза Бернсайда — как раз вопрос о водоразделе, оставляющем конечные группы с одной стороны, а бесконечные — с другой. Ее формулировка, как часто случается с самыми сложными математическими задачами, завлекательно проста. Порядок элемента группы — степень, в которую нужно его возвести, чтобы получить нейтральный элемент. Ясно, что в группе Z как единицу ни «возводи в степень», то есть, как ни складывай саму с собой, нуля не получишь. Считается, что порядок таких элементов бесконечен. А вот у поворота грани кубика Рубика на 90 градусов порядок равен четырем, потому что если четырежды повернуть грань вокруг своей оси на 90 градусов, она вернется на свое место. У разных элементов кубика Рубика могут быть разные порядки (самый большой из них равен 1260), но все они конечны. Да и вообще, порядки элементов любой конечной группы конечны — при возведении в степень элемент будет переходить в другие элементы и рано или поздно попадет на нейтральный.

А верно ли обратное? Что если у нас есть группа с конечным числом образующих (то есть элементов, перемножением которых можно получить все остальные — как элементарные повороты граней кубика Рубика или 1 в Z) и известно, что порядок каждого ее элемента конечен? «Это все еще нерешенный вопрос в теории групп», — написал английский математик Уилльям Бернсайд в 1902 году. В той же работе он сформулировал ограниченную версию задачи (общая формулировка получила название «проблема Бернсайда»): а что если не просто порядок каждого элемента конечен, но и все порядки ограничены сверху неким единым числом? Это можно сформулировать так: существует натуральное N, такое, что для любого элемента g из группы G элемент g в степени N является нейтральным. Обязательно ли всякая конечнопорожденная группа с таким условием конечна?

На эту задачу можно смотреть таким образом: элементы конечнопорожденной группы можно представить как слова, составленные из элементов конечного алфавита, соответствующего образующим, связанные некими соотношениями. При условии, что каждое слово, если его повторить некоторое количество раз, схлопывается в пустое, может ли в такой группе быть бесконечное число слов? У Бернсайда не было интуитивного ответа, но в следующие несколько лет он сам и немецкий математик Иссайя Шур показали, что среди приходящих в контексте задачи на ум бесконечных групп контрпримеров нет. Стало ясно, что если ответ на вопросы Бернсайда и отрицателен, доказать это будет сложно. Впрочем, и доказать обратное не выходило. Задача была отложена примерно на 20 лет.

С начала 30-х в проблему Бернсайда стали вгрызаться, буквально откусывая по маленькому кусочку, сосредоточившись на ее ограниченном варианте (когда порядок всех элементов ограничен общей константой). Можно построить особую группу B(m,n), которая будет в некотором смысле самой большой среди всех групп с m образующими и порядком всех элементов равным n. Группы такого вида назвали свободными группами Бернсайда; если доказать, что B(n,m) конечны при любых n и m, то и ограниченная проблема Бернсайда решается положительно.

Тут стоит заметить, что из положительного решения ограниченной проблемы Бернсайда не следует положительное решение общей проблемы, а из отрицательного решение общей не следует отрицательное решение ограниченной. Важное обстоятельство — ведь доказывая конечность свободных групп Бернсайда при разных значениях m и n, математики никак не продвигались в решении общей проблемы Бернсайда, только ограниченной!

Итак, к 1940 году удалось доказать, что конечны группы вида B(m, 2), B(m, 3) и B(m, 4). Еще через 18 лет один из крупнейших специалистов по теории групп в истории, американец Маршалл Холл доказал, что конечна B(m, 6) — его доказательство один из рецензентов охарактеризовал как «героическое вычисление». Это давало надежду, что вскоре последует прорыв, и удастся доказать, что все свободные группы Бернсайда конечны, а значит и ограниченная проблема Бернсайда решается положительно. Но в 1959 году знаменитый советский математик Петр Сергеевич Новиков опубликовал статью, в которой заявил, что все B(m, n) бесконечны при любом нечетном n большем 71. Работа содержала только набросок доказательства, и, как водится, его завершение оказалось намного более сложным делом, чем казалось автору. Но что означает анонсированный Новиковым результат? Что существуют бесконечные конечнопорожденные группы с ограниченными в совокупности порядками элементов. А значит, отрицательно решается и ограниченная и общая задачи Бернсайда!

Но полного доказательства не было. Пять лет спустя на эту сцену неожиданно, ярко и ненадолго вышел Игорь Шафаревич. В 1964 году Шафаревич и его ученик Евгений Голод опубликовали статью «О башне полей классов».

Это был самостоятельный результат в области некоммутативной гомологической алгебры, из которого, среди прочего, следовало, что для любого простого p существует бесконечная группа с тремя образующими, такая, что порядок каждого ее элемента — степень числа p (но не обязательно одна и та же!). Теорема Голода-Шафаревича давала отрицательное решение общей проблемы Бернсайда, из которого впрочем, как было сказано выше, не следовало решения ограниченной проблемы Бернсайда — нужно было найти бесконечные группы, в которых порядки элементов ограничены общим числом.

В 1968 году Петр Новиков с помощью своего ученика Сергея Адяна смог завершить доказательство, анонсированное почти 10 лет назад: они доказали, что свободные группы Бернсайда B(m,n) бесконечны, правда, при всех нечетных n больших 4381, а не 71, как утверждалось в работе Новикова 1959 года. Это дало отрицательный ответ сразу на оба варианта проблемы Бернсайда, и ограниченный и общий. Новиков и Адян, таким образом, улучшили результат Голода и Шафаревича, но для последнего проблема Бернсайда никогда и не была желанной целью. Сорок лет спустя Шафаревич вспоминал о статье Новикова и Адяна: «Это была громадная работа. Я тогда был в редколлегии журнала «Известия АН СССР» и помню, что публикация ее заняла три номера! Очень знаменитая работа».

Отрицательное решение общей проблемы Бернсайда — лишь эпизод в долгой карьере Игоря Ростиславовича Шафаревича, и далеко не самый яркий, почти случайное следствие из важной теоремы из алгебраической теории чисел. Он к ней больше не возвращался, хотя, несмотря на отрицательный ответ на исходный вопрос, интересная работа здесь идет до сих пор.

В 1975 Сергей Адян улучшил свой с Новиковым результат, доказав, что B(m, n) бесконечны для нечетных n больших 665. В 1992 году Сергей Иванов доказал, что B(m,n) бесконечны для всех четных (это случай оказался намного более сложным) n, начиная с 248. Еще четыре года спустя ученик Сергея Адяна Игорь Лысенок улучшил эту границу до 8000. Любопытно, что даже для нечетного случая доказать сформулированный Петром Новиковым в 1959 году результат с n>71 пока не удается.

Вы заметили, что в списке B(m,2), B(m,3), B(m,4) и B(m,6), конечность которых была доказана относительно быстро, есть зияющий пробел? Так вот, до сих пор никто не знает даже, конечна или бесконечна группа B(2,5).

Сергей Немалевич



Нашли опечатку? Выделите фрагмент и нажмите Ctrl+Enter.