Угол-шоу

Изучение геометрии в средней школе начинается с планиметрии, с науки о плоских фигурах. На самом деле современный школьный курс не далеко ушел от знаменитых начал Евклида. За несколько лет школьников знакомят с понятием точек, прямых, треугольников и окружностей, они учатся проводить построение с помощью циркуля и линейки. Все эти задачи принято относить к элементарной математике. Но «элементарная» в данном случае вовсе не означает «простая», и это хорошо видно хотя бы на примере понятий длины и площади.

По ходу обучения в геометрии появляется понятие длины отрезка. Оно, конечно, не совсем элементарное, поскольку требует наличия не просто прямой, а прямой числовой, то есть прямой, где каждой точке приписано какое-то число. А это вроде как математический анализ. Но все равно, не очень страшно. Гораздо хуже, конечно, когда пытаются объяснить понятие длины окружности. Скажем с отрезками ясно, а окружность-то кривая. Как здесь быть?

Для определения длины окружности приходится привлекать понятие предела. А именно, на самом деле сначала определяется понятие длины ломаной: мы считаем длину как сумму длин всех звеньев, каждое из которых отрезок (длины отрезков-то мы точно считать умеем). Теперь берем окружность, разбиваем ее на N равных частей и смотрим длину вписанного в окружность правильного N-угольника. Теперь начинаем увеличивать N. При этом длиной окружности мы называем предельное значение длин таких ломаных. Легко понять что оно будет 2πR. 

Теперь давайте возьмем другой класс ломаных. Рассмотрим описанный около окружности квадрат. Будем разбивать точками окружность на равные куски так, чтобы точки касания сторон квадрата и окружности входили в это разбиение. Точек в этом случае будет 4N. Соединять теперь точки будем не отрезками, а ступеньками: сначала проведем отрезок по горизонтали так, чтоб его конец оказался прямо над второй точкой. А затем опустим вертикаль из угла ступеньки во вторую точку.

 С каждым шагом размеры ступенек будут уменьшаться, и кажется, что в пределе они дадут нам длину окружности. Однако, если мы сложим все горизонтальные отрезки в нашей ломаной и все вертикальные, то для любого разбиения получим 8R, где R — радиус окружности. Штука в том, что в первом случае (с вписанным многоугольником) предел определен корректно. А во втором предел тоже есть, но, как говорят математики, в другой метрике. В ней (она известна еще как метрика городских кварталов) длина окружности действительно будет 8R.

Как бы то ни было, пример иллюстрирует, что определение длины чего-то отличного от отрезка уже является нетривиальной задачей. Но с отрезками, подчеркну, удается обойтись почти элементарными вещами. Теперь вспомним, что помимо расстояния есть еще и площадь. Интуитивно понятно, что здесь все еще сложнее, чем с длиной — честное определение площади требует привлечения не только понятия предела, но и кратных интегралов. Но что, если как в случае с отрезками, для каких-то простых фигур — скажем, многоугольников, нам достаточно будет элементарных понятий?

Для этого мы привлечем вот такое просто соображение. Скажем, у нас есть несколько многоугольников. Мы точно знаем, что, склеив их по краям одним способом, мы получим один многоугольник, а другим — другой. Логично, что в обоих случаях площадь конечного продукта склейки будет равняться площади составляющих его частей. Ну, в частности, площади многоугольников будут равны. А верно ли обратное? То есть, если по-честному определить понятие площади, верно ли, что равновеликость (то есть равная площадь) повлечет равносоставленность (то есть многоугольники можно будет разрезать на одинаковые наборы, например, треугольников)?

Теорема Бойяи-Гервина говорит, что для многоугольников обратное утверждение тоже верно. То есть для многоугольников понятие равновеликости и равносоставленности совпадает. Идея доказательства теоремы довольно проста: сначала нужно показать, что любой многоугольник можно разрезать на треугольники. Затем треугольники превратить в параллелограммы. Наконец, показать, что равновеликие параллелограммы можно порезать нужным образом.

Замечательно, что аналог теоремы Бойяи-Гервина верен и в других геометриях. Например, в сферической. В этой геометрии точки — это точки на сфере, а прямые — большие круги, то есть пересечение сферы и плоскости, проходящей через центр. В такой геометрии, в отличие от планиметрии, не выполняются два постулата Евклида. Так, во-первых, через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести прямую, параллельную данной. Во-вторых, из трех точек на прямой ни одна не лежит между двумя другими. Несмотря на это теорема Бойяи-Гервина верна.

В конце нужно отметить вот что: аналог теоремы для объема в трехмерном пространстве уже не работает. То есть, если два многогранника имеют одинаковый объем, они не обязательно равносоставлены. Вопрос этот был поднят Давидом Гильбертом во время его легендарного выступления на математическом конгрессе 1900 года и получил название Третьей проблемы Гильберта. Из всех проблем она оказалась самой простой и была решена учеником Гильберта Максом Деном уже через год, в 1901 году.