«Путь к сути вещей: как понять мир с помощью математики»

Альберт Эйнштейн говорил: «У меня нет особого таланта. Я просто страсть как любопытен». По мнению математика Давида Бессиса, слишком мало людей воспринимает эти слова всерьез. В книге «Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики» (издательство «Альпина Паблишер»), переведенной на русский язык Екатериной Поляковой, он рассказывает, как можно разобраться в математике, а также демонстрирует, что она может не только запутывать, но и объяснять. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом о том, как быстро посчитать сумму целых чисел от 1 до 100 и какие выводы можно извлечь из решения этой задачи.

Нет никакой хитрости

Обычный день в США начала 1950-х годов. Обычная семья едет по обычной дороге. Отец за рулем, двое сыновей сидят на заднем сиденье. Чтобы они не ссорились, отец задает им задачи: «Какова сумма целых чисел от 1 до 100?»

Младшему из братьев пять лет. Через несколько секунд он отвечает: «5000». Отец говорит, что это почти правильно. Мальчик думает еще несколько секунд и дает правильный ответ: «5050».

Этот пятилетний мальчик — Билл Тёрстон. История про него вызывает улыбку у тех, кто видит в ней повторение известного случая с Карлом Фридрихом Гауссом (1777–1855), «королем математики». Пусть даже эта старая история — просто легенда, но она широко известна, и отец Тёрстона, несомненно, о ней слышал.

Гаусс был одним из величайших математиков в истории, одним из тех, кого не колеблясь ставят рядом с Фалесом, Пифагором, Евклидом, Архимедом, Аль-Хорезми, Декартом, Эйлером, Ньютоном, Лейбницем, Риманом, Кантором, Пуанкаре, фон Нейманом, Гротендиком и еще несколькими. Он был настолько блистателен и обладал таким творческим потенциалом, что современники отказывались верить, что его интеллект порожден биологически нормальным человеческим мозгом. В некотором роде он был Альбертом Эйнштейном своего времени.

И закончилось все, кстати, ровно так, как и должно было (абсолютно как с Эйнштейном): когда Гаусс умер, кто-то счел весьма хитроумным изъять его мозг в надежде проникнуть в его секреты. Два века спустя мозг Гаусса так и лежит в банке, бережно хранимый в запасниках Гёттингенского университета. Никто не нашел в нем ничего интересного.

Согласно легенде, в возрасте семи лет маленький Гаусс очень напугал своего школьного учителя. Тот задал классу вычислить сумму целых чисел от 1 до 100, полагая, что так подарит себе добрых 25 минут тишины. Он не предусмотрел, что один из мальчишек ответит через несколько секунд.

Мне было 17 лет, когда преподаватель математики нашего выпускного класса рассказал эту историю, и она сильно впечатлила нас. Мы не понимали, как Гаусс мог посчитать настолько быстро. По сравнению с таким гением мы все чувствовали себя несколько жалко.

Объяснение нашего преподавателя заключалась в том, что здесь есть «хитрость». Мы хотим посчитать сумму целых чисел от 1 до 100, то есть выполнить сложение

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100.

Хитрость в том, чтобы умножить эту сумму вдвое, дважды посчитав каждое целое число от 1 до 100, и выстроить эту двойную сумму в две строки следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 + 100 + 99 + 98 + 97 + ... + 4 + 3 + 2 + 1.

Что за ерунда! Зачем считать эту сумму дважды? Зачем так выстраивать числа? Может, это и странно, но мы в полном праве так сделать. В любом случае каждое число от 1 до 100 появляется здесь дважды. Значит, двойная сумма в два раза больше числа, которое мы хотим найти.

А теперь посмотрите не на строки, а на столбцы. У нас 100 столбцов, и в каждом из них по два числа, сумма которых всегда равна 101. Это может показаться волшебством, но это так. Значит, двойная сумма равна 100 умножить на 101, то есть 10 100. Нужное нам число — половина от этого, то есть 5050.

Не надо стыдиться, если вам понадобится перечитать это рассуждение несколько раз, прежде чем счесть его убедительным. Как и в любом математическом рассуждении, в нем есть что-то странное и пугающее. Пока нам не удается счесть его очевидным, приходится расшифровывать его строчка за строчкой, что требует времени и концентрации.

Этапы рассуждения довольно просты и, по идее, позволят вам прийти к трем выводам.

1. Это верное доказательство факта, что сумма целых чисел от 1 до 100 равна 5050.
2. Вполне правдоподобно, что кто-то искусный в устном счете может выполнить это рассуждение мысленно за несколько секунд.
3. Такая мысль не могла зародиться в голове семилетнего или, в случае Тёрстона, пятилетнего ребенка.

Во всяком случае такие выводы в 17 лет сделал я сам.

Я также заключил, что математика создана не для меня, потому что она предназначена только для этих особых людей, гениев, у которых мозг работает не так, как мой, и может генерировать столь невероятные идеи.

Преподаватель в моем выпускном классе был прекрасным педагогом, я высоко его ценил, и он научил меня очень многому. Но, говоря нам о «хитрости», в тот день он оказал нам плохую услугу.

Нет никакой хитрости. Не было и не будет. Верить в существование хитростей так же токсично, как верить в существование истин, по природе своей контринтуитивных. Это два главных предрассудка в идеологии Системы 2 — вот эта вера, что наша интуиция ничего не стоит и мы должны механически применять методы, которых не понимаем.

Разумеется, бывает так, что что-то происходит и мы не понимаем почему. И даже довольно часто. Но это всегда временная ситуация, которая ждет объяснения.

Верить, что на структурном уровне существуют какие-то хитрости, — значит согласиться с мыслью, что есть вещи, которых мы никогда не поймем, и их нужно выучить на изусть. Путать проверку доказательства строчка за строчкой с его интуитивным пониманием. Вступить в подчиненные отношения с Системой 2. Согласиться на нечестное и унизительное для нас распределение ролей: великие гении находят всякие хитрости, а вот мы годны только на то, чтобы проверить, что сложение верно.

Если все это только для того, чтобы проверить, что сумма целых чисел от 1 до 100 действительно равна 5050, — да плевать на это, откровенно говоря. Нам важно научиться думать как Гаусс и Тёрстон.

Ловушка языка

Чтобы понять, что скрывается за математическими «хитростями», проще всего посмотреть на рецепт бананового кекса, например такой:

Ингредиенты: 4 банана, 4 яйца, 250 грамм муки, 180 грамм сливочного масла, 120 грамм сахара, 1 пакетик ванильного сахара, 1 пакетик разрыхлителя.

1. Разомните бананы вилкой в тарелке и отставьте в сторону.
2. Тщательно перемешайте яйца с сахаром, добавьте муку, затем масло, разрыхлитель и ванильный сахар.
3. Добавьте в смесь бананы.
4. Выпекайте в разогретой до 180 градусов духовке 40–50 минут.

Представьте себе разные этапы рецепта.

• Сначала вы идете в магазин за бананами. Вот они у вас в руке. Вы идете платить на кассу. Видите бананы?
• Вы начинаете этап 1. Теперь бананы в тарелке. У вас в руке вилка, вы собираетесь их размять. Все еще видите бананы?

Между этими двумя этапами вы сменили мысленный образ. Перед тем как разминать бананы, вы мысленно очистили их. За так называемыми хитростями обычно кроется нечто подобное: смена мысленного образа, которая происходит в одно мгновение по «очевидным» причинам, неочевидным для остальных.

Когда хорошо знаком с бананами, очевидно, что их нужно очистить, прежде чем разминать. Если никогда не держал бананы в руках — это перестает быть очевидным. Текст рецептов никогда не охватывает абсолютно все необходимые действия. Всегда не хватает каких-то важных деталей, тех самых пресловутых «хитростей». Вот почему так много людей предпочитают смотреть кулинарные видео, а не читать рецепты.

Бананы знакомы вам с детства. Можно даже сказать, вы с ними в близкой дружбе. Вы изучили их так, чтобы не нуждаться в языке для их описания. Вы знаете о них кучу подробностей, о которых никогда никому не рассказывали. Вам досконально знакомо волокно, проходящее вдоль их мякоти, пусть даже вы не знаете его названия. Это волокно ни разу ни для чего вам не пригодилось, но поразило вас своим видом и свойствами. Еще вы знаете — и ни разу не осмелились в этом признаться, — что ничто на земле не разламывается так мягко и приятно, как мякоть банана. Слово «банан» вызывает у вас не просто мысленный образ, а множество возможных мысленных образов. И вы моментально, без усилий и указаний со стороны, всегда выбираете нужный. Разминать бананы, не очистив их, настолько глупо, что это забавляет вас. Это из серии тех дурацких штук, которые могут проделать только роботы.

Когда Гаусс или Тёрстон хотят сложить целые числа от 1 до 100, они выбирают нужный способ представить эти числа — тот, который облегчит вычисление. Они находят его моментально, без усилий и указаний со стороны. Они умеют активировать свое знание чисел так же, как вы умеете активировать свое знание бананов. Речь идет об одной и той же форме интеллекта.

В математике свершение чуда или возникновение идеи ниоткуда — всегда знак, что вам не хватает какого-то образа. Ваш способ видеть вещи неверен или неполон, и есть вариант лучше, проще и яснее, которого вы еще не знаете, а может быть, и никто не знает. Искать и найти этот правильный способ видеть — вот сама суть математической деятельности. Это основной источник удовольствия от нее.

Каждый раз, когда вам говорят о хитростях, вам приказывают перестать размышлять как раз в тот момент, когда начинается самое интересное.

Ирония здесь в том, что в то время, когда вы завязали близкую дружбу с бананами — в ту далекую пору вашего детства, — вы также завязали близкую дружбу с числами. Именно такая степень близости позволила вам научиться считать.

Эту дружескую связь с числами вы потеряли. Подрастая, вы угодили в то, что я называю ловушкой языка, и именно она мешает вам «увидеть» сумму целых чисел от 1 до 100 так же, как Гаусс и Тёрстон.

Ловушка языка — это убеждение, что достаточно назвать вещи, чтобы они начали существовать, избавив нас от необходимости по-настоящему воображать их.

Это убеждение — типичное проявление идеологии Системы 2. Нам рассказывают, что мы думаем именно словами и ни к чему пытаться выйти за их пределы. Это сжатое изложение весьма проблемно, оно граничит с ложью. Да, называние вещей позволяет упомянуть их, но не вызывает в сознании настолько яркие образы, чтобы можно было мыслить и творить.

«Не думайте о розовом слоне». Эта шутка очень веселит лингвистов, потому что в определенном смысле эта фраза вынуждает нас думать о розовом слоне. Только вот этот способ думать о розовых слонах пассивно, против воли, не поможет вам стать их близким другом и понять их по-настоящему. Постарайтесь представить розового слона в настоящую величину — прямо здесь, перед вами. Дайте себе время рассмотреть его и изучить вблизи. Этот намеренно вызванный образ будет неимоверно глубже, богаче и точнее, чем невнятная картинка, возникшая у вас в уме в начале этого абзаца. Когда вы разрешаете себе отпустить воображение на свободу, у него практически нет пределов.

Именно это усилие воображения позволяет выбраться из ловушки языка и решать математические задачи. Эта деятельность лежит в основе Системы 3. Она подразумевает свободное стремление увидеть, без оговорок и полумер, с полным физическим вовлечением.

Если, читая слова «сумма целых чисел от 1 до 100», вы удовлетворитесь невнятным образом, возникшим в вашем уме, вы ничего не увидите.

Не позволяйте словам убаюкать вас, заставьте себя подумать, что эта сумма физически присутствует перед вами. Заставьте себя вообразить целые числа от 1 до 100 из плоти и крови, воплощенные в реальном мире и смирно выстроившиеся перед вами. Если вам удастся их увидеть и вы дадите себе время как следует понаблюдать за ними, вы найдете способ вычислить их сумму.

Чтобы дать себе шанс догадаться самим, можете сделать перерыв, прежде чем продолжать читать.

Подробнее читайте:
Бессис, Д. Путь к сути вещей: Как понять мир с помощью математики / Давид Бессис ; Пер. с фр. [Екатерины Поляковой] — М. : Альпина Паблишер, 2024. — 346 с.