Все решено

В прошлом месяце мы опубликовали партнерский тест «Серьезная аналитика». Он состоял из десяти задач, которые в Тинькофф предлагают кандидатам на собеседовании. Решать их начали больше десяти тысяч человек, но до финала добрались не все. В этом материале мы расскажем, как можно было получить верные ответы.

Задача № 1

Условие: У Нюши есть акции разных компаний, она написала их стоимость на шести карточках: 22, 45, 41, 8, 67, 18 миллионов рублей (каждое по одному разу). Нюша решила завязать с куплей-продажей акций и раздать 5 из своих акций Крошу и Ёжику. Оказалось, что сумма чисел на карточках у Кроша в 5 раз больше суммы на карточках, которые взял Ёжик. Найдите, какая карточка осталась у Нюши.

Ответ: 45

Решение: Пусть сумма на карточках у Ёжика x, тогда у Кроша 5x. Получаем, что сумма чисел у Кроша и Ёжика вместе 6x, то есть делится на 6. Заметим, что сумма всех чисел на карточках 22 + 45 + 41 + 8 + 67 + 18 = 201 не делится на 6. Значит, оставшееся число должно быть сравнимо по модулю 6 с суммой. 201 ≡ 3 (mod 6), а из всех шести чисел только 45 ≡ 3 (mod 6). Осталась карточка с числом 45.

Задача № 2

Условие: У гномов-огородников Мани и Дани есть две огромные грядки, на которых они могут выращивать тыкву и горох. С первой грядки можно собрать 100 мешков тыквенных семечек или 100 мешков гороха. На второй грядке можно собрать максимум 200 мешков гороха, а альтернативная стоимость одного такого мешка составляет 0,5 мешка тыквенных семечек. Гномики продают собранный урожай на рынок в определенной пропорции: на 1 мешок гороха должно приходится 2 мешка семечек. Сколько мешков тыквенных семечек продают гномики?

Ответ: 160

Решение: Если на втором поле можно произвести максимум 200 мешков гороха, а его альтернативная стоимость составляет 0,5 мешка тыквенных семечек, то максимальное число мешков семечек, которое можно произвести на втором поле — 100. Теперь построим кривую производственных возможностей. Аналитически КПВ задается кусочно заданной функцией:

Аналитически факт того, что горох и семечки продаются комплектами задается функцией y = 0,5x. Чтобы найти оптимальный уровень производства фермера, нужно найти пересечение КПВ и прямой y = 0,5x. Получим точку (160, 80), где 160 — оптимальное количество мешков семечек, а 80 — оптимальное количество мешков гороха.

Задача № 3

Условие: Егор Максимович продает мороженое жарким летним днём имеет собственную функцию полезности, которая имеет вид U = P − S, где P — прибыль его магазина, а S — количество единиц грусти. Прибыль записывается функцией P = −2Q² + 40Q + 100, где Q — количество проданных рожков мороженого. Егор Максимович грустит, когда у него покупают мало мороженого и когда покупают много товара, ведь из-за этого ему приходится дольше стоять на жаре. Функция его грусти S = 0, 5Q² − 10Q. Егор Максимович не хочет продавать больше 8 рожков в день, потому что не любит число 8. Определите, какое количество проданных рожков максимизирует полезность Егора Максимовича.

Ответ: 8

Решение: Распишем функцию полезности U = P − S = −2Q² + 40Q + 100 + 0,5Q² − 10Q = −1,5Q² + 30Q + 100. Максимум этой функции достигается в точке Q = 30 \ 2 × 1,5 = 10, но 10 это больше 8, а наиболее близкое к 10 число рожков, которое может продать Егор Максимович это 8.

Задача № 4

Условие: В бухгалтерском отделе работают 150 сотрудников. Каждые двое из них — друзья или враги. Причем известно, что у любых двух врагов есть общий друг-бухгалтер. Какое наименьшее количество пар друзей-бухгалтеров может быть?

Ответ: 149

Решение: Возможны две ситуации: либо два бухгалтера — друзья, либо у двух бухгалтеров-врагов есть общий друг, поэтому граф, в котором вершины — бухгалтеры, а ребра — дружбы, — связный. Тогда наименьшее количество пар друзей-бухгалтеров, то есть ребер, 1024 — 1 = 1023 (наименьшее количество ребер в связном графе). Пример: один бухгалтер дружит со всеми, а остальные попарно враждуют.

Задача № 5

Условие: Петя, Вася и Коля ожидают одобрения ипотеки. Вероятность того, что Пете одобрят ипотеку — 0,9 (он много зарабатывает), Васе — 0,1 (у него плохая кредитная история), Коле — 0,5 (как повезет!). Оказалось, что из трех ребят ипотеку одобрили только одному. Какова вероятность, что это был Вася? Ответ округлите до сотых и напишите через запятую.

Ответ: 0,01

Решение: Пусть событие А соответствует тому, что Васе одобрили ипотеку, а событие В — что одобрили только одному. Воспользуемся формулой условной вероятности: P(A|B) = P(AB) \ P(B).

P(B) = 0,9 × 0,9 × 0, 5 + 0, 1 × 0, 1 × 0, 5 + 0, 1 × 0, 8 × 0, 5 = 0, 405 + 0, 005 + 0,045 = 0,455

P(AB) = 0,1 · 0, 1 · 0, 5 = 0, 005

P(A|B) = P(AB) \ P(B) = 0,005 \ 0,455 = 1 \ 91

Округляя 1 \ 91 до сотых получаем ответ.

Задача № 6

Условие: 7 аналитиков и 8 разработчиков пришли на совещание. Они сели в ряд за длинный стол. Считая, что все способы рассадки равновероятны, найдите математическое ожидание количества пар рядом сидящих людей, среди которых один человек — аналитик, а другой — разработчик. Ответ округлите до десятых и напишите через запятую.

Ответ: 7,5

Решение: Пусть X_n — индикатор события, когда в n-ой паре один человек — разработчик, а другой — аналитик. Тогда EX_n = P(X_n = 1) = 2 × 8 × 7 × 13! \ 15! = 8 \ 15 для n = 1, ...14. Отсюда искомое ожидание E(X₁ + ... + X₁4) = 14 × 8 \ 15 = 112 \ 15 , округляя до десятых получим ответ.

Задача № 7

Условие: Ваня не может вспомнить пароль от онлайн-банка, он запомнил подсказку: «Пароль — это среднее арифметическое корней уравнения (21⁶ − (2023 − x)⁴)²⁰²³ − 21⁴(2023 − x)⁶ = 20232023». Помогите Ване вспомнить пароль и войти в онлайн-банк.

Ответ: 2023

Решение: Сделаем замену 2023 − x = t, получим уравнение (21⁶ − t⁴)²⁰²³ − 21⁴t⁶ = 20232023. Заметим, что в уравнении t находится в четной степени, это значит, что если t = a — корень уравнения, то и t = −a — тоже корень уравнения. Пусть у нас n пар корней вида (a, -a), тогда среднее арифметическое корней это

Сделаем обратную замену x = 2023 − t = 2023 − 0 = 2023 — среднее арифметическое корней исходного уравнения.

Задача № 8

Условие: Петя должен Маше некую сумму денег n (в тысячах рублей), равную сумме всех пар простых чисел p и q, для которых оба числа pq − q и p − q являются квадратами натуральных чисел. Сколько тысяч рублей должен Петя Маше?

Ответ: 5

Решение: Пусть p − q = a² , pq − q = q(p − 1) = b², при этом из первого равенства следует, что p > q, а из второго a < b < p. Заметим, что p(q − 1) = pq − q − (p − q) = b² − a² = (b − a)(b + a). Так как 0 < b − a < p, то b + a делится на p. При этом, a + b < 2p, тогда a + b = p и a − b = q − 1. Так как p нечетно, а числа a − b и a + b одной четности, то q = 2. Мы получили, что p − 2 = a² и 2p − 2 = b². Так как квадраты не дают остаток 2 при делении на 3, то p = 3. Доказали, что пара q = 2, p = 3 — единственная, 2 + 3 = 5 — это и есть искомая сумма.

Задача № 9

Условие: Пусть x_n — n-ое число Фибоначчи, x₁ = 1, x₂ = 1, x_n+2 = x_n+1 + x_n. Обозначим S следующим образом (см. картинку). Найдите целую часть от S.

Ответ: 2

Решение: Рассмотрим разность:

Получили уравнение S − S \ 2 = 1 \ 2 + S \ 4, решая его получим S = 2.

Задача № 10

Условие: Недавно в офисе Т прошли соревнования по прыжкам в высоту, в них участвовали аналитики и разработчики, причем разработчиков было в три раза больше, чем аналитиков. Соревнования проходят следующим образом: участники разбиваются на пары и 1 прыгают (кто выше — тот и выиграл, если участники прыгают на одинаковую высоту — ничья). За победу участнику дается 1 очко, за ничью — 1 / 2 очка, а за поражение — 0 очков. В ходе соревнований каждый участник сыграл с каждым ровно один раз. После окончания соревнований оказалось, что разработчики вместе набрали на 20 процентов очков больше, чем аналитики. Сколько сотрудников могло участвовать в турнире? В ответе укажите сумму всевозможных вариантов.

Ответ: 12

Решение: В каждом матче разыгрывается ровно 1 балл. Пусть аналитиков было x, аналитиков 3x. Всего матчей было S = 4x(4x−1) \ 2 = 2x(4x − 1), соответственно и очков было разыграно S. Количество очков аналитиков 5S \ 11 , а разработчиков 6S \ 11, следовательно, S делится на 11. В матчах между собой разработчики разыграли 3x(3x−1) \ 2 ≤ 6S \ 11 очков. Решая это неравенство, получаем x ≤ 3, но только при a = 3 S делится на 11. Значит всего участвовало 12 сотрудников. При этом такая ситуация действительно возможна, если все разработчики сыграли все партии между собой вничью и проиграли все партии аналитикам, набрав в итоге 36 очков, что на 20 процентов больше 30 очков аналитиков.