Решай как аналитик: объясняем задачи из материала «От простого к сложному»

В конце марта N + 1 опубликовал тест «От простого к сложному», подготовленный вместе с Тинькофф. Мы составили его из математических задачек, проверяющих некоторые важные для аналитиков качества — в результате тем, кто справился лучше всего, компания предложила поучаствовать в летней стажировке. А теперь по просьбе читателей мы рассказываем, какими были правильные ответы к задачам из этого материала.

Задача №1

Условие: В отделе по разработке мобильных приложений банка Т работает 45 человек. Из них 16 занимаются разработкой, 17 — системной аналитикой, а еще 18 — дизайном. В отделе есть люди, которые занимаются двумя видами деятельности одновременно: разработкой и аналитикой занимаются четверо, разработкой и дизайном — трое, аналитикой и дизайном — 5. Руководитель отдела Давид занимается и дизайном, и разработкой, и аналитикой. Сколько человек в отделе Давиду нужно уволить, потому что они ничем не занимаются?

Решение: Заполним схему (рис. 1) по условию задачи. Легко посчитать, что чем-то занимаются 11 + 10 + 9 + 4 + 1 + 2 + 3 = 40 человек, а в отделе 45. Следовательно, 45 − 40 = 5 человек, которые ничем не занимаются.

Ответ: 5

Задача №2

Условие: Фиолетовый банкомат сломался и неправильно разменивает деньги: если в банкомат положить рубль, он выдаст 67 долларов, а если положить 1 доллар — 15 рублей. Можно ли, подойдя к банкомату и имея только 1 рубль, получить после нескольких операций одинаковое количество рублей и долларов?

Решение: Заметим, что если мы размениваем один доллар, то общее количество всех денег увеличивается на 14, а если рубль — на 66. Иначе говоря, вне зависимости от того, как мы размениваем деньги, после каждой операции их общее количество увеличивается на четное число. Изначально у нас есть один рубль, то есть после каждого обмена мы получим один + четное число, то есть нечетное число денег. Нечетное число на два не делится, поэтому одинакового количества рублей и долларов быть не может.

Ответ: Нет

Задача №3

Условие: Несколько лет назад Миша купил в кредит желтую машину. Он взял в банке кредит на 100 тысяч рублей и выплачивал его x месяцев. В конце первого месяца Миша выплатил банку 10 тысяч рублей, а в каждый следующий месяц выплачивал на 7 тысяч рублей больше, чем в предыдущий. В последний месяц выплата составила 73 тысячи рублей. Сколько тысяч рублей составила переплата по кредиту?

Решение: В последний месяц Миша заплатил 10 + 7 × (x - 1) = 73 тысячи рублей. Отсюда найдем, что x = десять месяцев. Значит, всего Миша выплатил 10 + 17 + 24 + 31 + 38 + ... + 73 = 415. В таком случае переплата составила 415 - 100 = 315 тысяч рублей.

Ответ: 315

Задача №4

Условие: Предприниматель Олег считает, что натуральные числа p и p² - 14p + 40 приносят удачу. Известно, что оба числа простые и больше трех. Найдите сумму этих чисел.

Решение: Число p² - 14p + 40 = (p - 4)(p - 10) является простым, если одна из скобок по модулю равна 1, вторая по модулю равна простому числу, а произведение скобок является натуральным числом. Рассмотрим все p, при которых одна из скобок по модулю равна 1. Это следующие значения p : 3, 5, 9 или 11. Вариант p = 3 не подходит, так как p по условию больше трех. Вариант p = 9 также не подходит, поскольку p должно являться простым числом. При p = 5 значение выражения равно -5 и не является натуральным. Значит, подходит только p = 11. В этом случае p² - 14p + 40 = 7. Сумма чисел равна 18.

Ответ: 18

Задача №5

Условие: Треугольник ABC построен на стороне прямоугольника DBCE так, что точка A лежит вне прямоугольника, BC = 6, BA = 3. Какую максимальную площадь может иметь фигура DBACE, если известно, что отрезок DB равен высоте треугольника ABC, проведенной из точки A?

Решение: Обозначим (рис. 2) за AF высоту треугольника, тогда по условию AF = DB. Площадь искомой фигуры: S = S_ABC + S_DBCE = AF × BC/2 + DB × BC = AF × BC/2 + AF × BC = 1,5 × AF × BC, AF = AB × sin α. BC и AB заданы в условии — значит, площадь максимальна, когда синус максимален, то есть когда 𝑠𝑖𝑛 α = 1. Получается, что S = 1,5 × 6 × 3 × 1 = 27

Ответ: 27

Задача №6

Условие: Перед новым годом HR-департамент компании Т запустил игру в необычного «тайного Санту». Два соседних отдела банка должны вручить друг другу подарки таким образом, чтобы каждый человек из одного отдела вручил по одному подарку каждому человеку из другого. Известно, что среднее арифметическое людей в этих двух отделах равняется 45. Помогите HR-департаменту посчитать, какое максимально возможное количество подарков могло быть сделано в Новый год в этих двух отделах?

Решение: Пусть в одном отделе работает n человек, а в другом — m. Тогда по неравенству о средних 45 ≥ √m × n, то есть 2025 ≥ m × n. Значит, максимальное значение, которое может принимать m × n, равняется 2025. В новый год подарков сделано 2 × m × n, то есть максимальное количество подарков, которое могло быть сделано, равно 2 × 2025 = 4050

Ответ: 4050

Задача №7

Условие: Параллельно стороне AC треугольника ABC проведены прямые MN и PQ, причем так, что точки P и M лежат на стороне AB, а Q и N - на BC. BH - это высота треугольника PBC. PQ = 2, MN = 4, BN = 2, BC = 6, BH = 1/7. Найдите площадь четырехугольника APQC.

Решение: Треугольники BPQ, BMN и BAC (рис. 3) подобны. Поэтому AC = MN × 3 = 12, BQ = BN/2 = 1, BF = 1/7 × 6 = 6/7. Тогда HF = 6/7 - 1/7 = 5/7. Площадь трапеции отсюда: APQC = HF × (PQ + AC)/2 = 5/7 (2 + 12)/2 = 5

Ответ: 5

Задача №8

Условие: Мария постоянно забывает последнюю цифру пароля от своего банковского счета. Чтобы пользоваться счетом, она написала себе подсказку: цифра равна количеству решений уравнения x + 3|y| + 5 = 0, при условии, что (x + 8)² + (y − 1)² = 10. Найдите эту цифру.

Решение: Построим графики этих уравнений на плоскости (рис. 4). Первое уравнение задает окружность, а второе — «галочку». Количество решений уравнения — это количество точек пересечения графиков этих уравнений. Из построения видим, что точек пересечений ровно 3. На рисунке они отмечены как A, B, C.

Ответ: 3

Задача №9

Условие: Сотрудникам компании Т, которые выполняют дополнительные рабочие задачи, полагается премия. Если сотрудник сверхурочно работал n часов, то размер премии в S тысяч рублей вычисляется по формуле S = p + n², где p — остаток от деления числа 10²⁰²²ⁿ на 12. Сколько тысяч рублей выплатят сотруднице Варе в качестве премии, если она проработала дополнительно 14 часов?

Решение: Найдем чему равен остаток от деления числа 10^2022𝑛 на 12.

10 ≡ 1 mod 3 ⇒ 10²⁰²²ⁿ ≡ 1 mod 3

10² ≡ 0 mod 4 ⇒ 10^{2 × 1011n} ≡ 0 mod 4

Остаток от деления на 12 должен быть меньше 12, делиться на 4 и быть сравнимым с 1 по модулю 3. Числа меньшие 12 и кратные 4 — это 0, 4, 8. Из них только 4 сравнимо с 1 по модулю 3. Выходит, что премия Вари равняется 4 + 14 × 14 = 4 + 196 = 200

Ответ: 200

Задача №10

Условие: Оливер угадывает любимое число Стаса. Стас дает Оливеру подсказку: этим числом является среднее арифметическое корней уравнения (2022 − (22 + x)²)²⁰²¹ − 2(22 + x)⁶ = 20222022. Какое у Стаса любимое число?

Решение: Заметим, что если корнем уравнения является число a, то число -a - 44 — это тоже корень уравнения. То есть все корни уравнения можно разбить по парам. Сумма корней в паре a + (-a - 44) = -44. Допустим, всего этих пар n штук — тогда среднее арифметическое будет равняться -44 × n/2n = -44/2 = -22. Это и есть любимое число Стаса.

Ответ: -22