«Контур жизни: Математик в поиске скрытой геометрии Вселенной»

Гарвардский математик, лауреат Филдсовской премии Яу Шинтун дал геометрическое обоснование «первой струнной революции», предложил новые идеи в понимании массы и кривизны, а также доказал стабильность Вселенной. В своей автобиографической книге «Контур жизни: Математик в поиске скрытой геометрии Вселенной» (издательство «Альпина нон-фикшн»), переведенной на русский язык Натальей Лисовой, Яу Шинтун рассказывает о том, как начинался его путь в науке, и об актуальных концепциях математики и теоретической физики. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с фрагментом, посвященным открытию «зеркальной симметрии» и влиянию, которое она оказала на исчислительную геометрию.

Вскоре после появления в Гарварде Грин начал работать вместе с Ронином Плессером, тогда аспирантом гарвардского физика Камрана Вафы. На базе более ранних работ Вафы и других физиков, включая Ланса Диксона, Дорона Гепнера, Вольфганга Лирча и Николаса Уорнера, Грин и Плессер начали играть с 6-мерными многообразиями Калаби — Яу, которые, как считалось, определяют форму «дополнительных» пространственных измерений в теории струн. Эти двое взяли одну фигуру Калаби — Яу и повернули ее совершенно особым образом, получив своего рода зеркальное изображение — хотя и совершенно иной формы. Они выяснили, что эти две различные фигуры Калаби — Яу объединяет скрытое родство, поскольку обе они порождают одинаковую физику. Грин и Плессер назвали это явление «зеркальной симметрией» и опубликовали на этот счет статью в 1990 г. Две фигуры Калаби — Яу, порождающие одинаковую физику, стали называться зеркальными многообразиями.

Зеркальная симметрия представляет собой образец дуальности — явления, которое в теории струн возникает довольно часто, а в физике вообще всякий раз, когда одна и та же общая физическая ситуация может быть описана двумя картинами, или моделями, которые настолько отличаются на первый взгляд, что кажется, что они не имеют между собой ничего общего. Эта парадигма нашла отклик лично у меня, потому что она хорошо увязывалась с понятиями инь и ян древнекитайской философии и конкретно даоистской мысли, которая всегда подчеркивает комплементарность — и единство — двух противоположных на первый взгляд сил. Концепция дуальности привела к нескольким замечательным открытиям в теории струн и за ее пределами. Зеркальная симметрия оказалась особенно продуктивной в этом отношении.

Примерно через год после прорывного открытия, совершенного Грином и Плессером, физик Филип Канделас из Университета Техаса и трое его коллег — Пол Грин, Ксения де ла Осса и Линда Паркс — провели масштабный расчет, призванный проверить концепцию зеркальной симметрии. В ходе этой работы Канделас с коллегами использовал зеркальную симметрию для решения одной из задач по «исчислительной геометрии», насчитывавшей уже целое столетие. Исчислительная геометрия — область математики, посвященная подсчету числа объектов в геометрическом пространстве или на поверхности. В задаче, за которую взялись Канделас и его коллеги, речь идет о подсчете числа кривых, которые можно вписать в так называемую 3-мерную квинтику, несингулярные варианты которой (то есть не имеющие отверстий) составляют, вероятно, самое простое 6-мерное многообразие Калаби — Яу, какое только можно найти. Термин «квинтика» отражает тот факт, что это пространство определяется полиномиальным уравнением 5-й степени (включающим такие члены, как x⁵ или y⁵ ). Оно называется «3-мерным», потому что представляет собой многообразие с тремя комплексными — и, соответственно, шестью действительными — измерениями.

Эту задачу иногда называют задачей Шуберта, потому что в конце XIX в. немецкий математик Герман Шуберт решил ее простейший вариант и подсчитал количество кривых первой степени (то есть прямых) на квинтике. В 1986 г. математик Шелдон Кац решил более сложный вариант этой задачи, рассматривающий кривые второй степени (такие как окружность) на квинтике. Канделас с коллегами решил следующую по сложности задачу, определив число кривых третьей степени (или сфер), которые можно вписать в квинтику.

И вот как зеркальная симметрия помогла это сделать: если решить задачу третьей степени на реальной квинтике было очень трудно, то на зеркальном к этой поверхности многообразии — объекте, который Грин и Плессер уже построили, — она решалась намного проще. Зеркальная симметрия, объяснил Грин, предлагает способ «хитроумно реорганизовать вычисления так… чтобы их выполнение значительно упростилось». Проводя свои вычисления не на оригинальной квинтике, а на ее зеркальном партнере, команда Канделаса сумела получить точный ответ для числа кривых третьей степени: 317 206 375.

Понятно, что этот результат привлек мое внимание, потому что, если их ответ верен, это означало, что зеркальную симметрию можно с успехом применить к решению других задач исчислительной геометрии, — как впоследствии и произошло. А пока самым главным для меня было побыстрее разобраться в этой новой концепции.

Примерно в то же время Зингер попросил меня помочь в проведении конференции по математической физике в MSRI. Первоначально он хотел сосредоточиться на «калибровочной теории», тесно связанной с квантовой теорией поля и физикой элементарных частиц, но я предложил немного сместить акцент в связи с интересными новыми открытиями в зеркальной симметрии. Зингер был немного знаком с этой темой, поскольку недавно прослушал лекцию Брайана Грина в Гарварде. Я рассказал ему еще немного, и он согласился провести в мае 1991 г. в MSRI недельный семинар по зеркальной симметрии и попросил меня быть его председателем.

Эта встреча оказалась очень горячей, поскольку первые работы по зеркальной симметрии — труды таких людей, как Грин, Плессер и Канделас, — проводились физиками, и математики пока не доверяли этим результатам и не спешили применять их в своих областях, таких как исчислительная и алгебраическая геометрия. Такая нерешительность проистекает из того факта, что в глубине души большинство математиков считают свою науку более строгой, чем физика.

На семинаре в MSRI уже и без того нарастало напряжение: два норвежских математика, Гейр Эллингсруд и Штейн Арилд Штрёмме, объявили, что получили другой результат для задачи Шуберта третьей степени; результат этот равнялся 2 682 549 425 и был получен более традиционными математическими методами. Никто не мог сказать наверняка, который из ответов верен (если верен хотя бы один из них), но Канделас, Грин и другие поборники зеркальной симметрии, разумеется, встревожились. Я разобрал вместе с ними расчеты, чтобы посмотреть, не пошло ли что-нибудь не так, но никаких ошибок нам обнаружить не удалось. Однако не прошло и месяца, как Эллингсруд и Штрёмме нашли ошибку в собственных вычислениях. Они заново провели численный расчет и на этот раз получили тот же ответ, что и группа Канделаса, — 317 206 375, что стало сильным аргументом в пользу не только понятия зеркальной симметрии, но и теории струн как таковой.

Работа Канделаса оказала еще более сильное влияние, поскольку его группа предложила общую формулу для решения задачи подсчета в 3-мерной квитнике не только числа прямых, окружностей и сфер, но и числа кривых любой степени. Дерзкое, масштабное предложение, которое сработало в случае степеней один, два и три, — но это все же была скорее декларация, чем доказательство. В конце 1994 г. Максим Концевич превратил эту декларацию в точное математическое утверждение, которое он назвал зеркальной гипотезой.

Вскоре после этого я начал думать о доказательстве одного из вариантов гипотезы, сформулированного на несколько ином языке. Мы с моим бывшим постдоком Лянь Боном и моим бывшим аспирантом Лю Кэфэном обсудили эту задачу и решили попробовать. Мало того, что задача была интересна сама по себе, меня еще подталкивало ощущение того, что такое доказательство могло бы обеспечить математическое подтверждение зеркальной симметрии в целом.

Наши пробные вылазки в этом направлении вскоре наткнулись на противоречие. В статье, выложенной в математическом архиве в марте 1996 г., геометр Александр Гивенталь из Беркли предложил доказательство зеркальной гипотезы. Лянь, Лю и я тщательно просмотрели эту статью и нашли ее сложной для понимания — кстати говоря, не мы одни. Это породило в нашем сознании вопросы к правильности приведенных рассуждений. Наше беспокойство разделяли и некоторые другие математики, с которым мы тогда обсуждали эту тему, хотя кого-то, казалось, работа Гивенталя вполне устраивала.

Мы с коллегами попросили Гивенталя пояснить некоторые шаги в его рассуждениях, которые показались нам наиболее запутанными, но мы по-прежнему не могли восстановить доказательство автора целиком. Поэтому мы решили начать заново и получили независимое доказательство зеркальной гипотезы, которое было опубликовано годом позже. Некоторые наблюдатели назвали статью Гивенталя первым полным доказательством этой гипотезы; другие сочли первым полным доказательством наше. Пытаясь разрешить спор, мы предложили считать доказательством гипотезы наши статьи вместе.

Разумеется, все желающие могли и дальше обсуждать этот вопрос (некоторые так и делали), но я готов был двигаться дальше, потому что на кону стоял еще более серьезный вопрос — и более глубокая загадка ожидала решения. Доказательство зеркальной гипотезы подвело надежную базу под формулу Канделаса, показав, что число кривых разных степеней на квинтике не случайно, но представляет собой часть сложной математической структуры и определяется явлением (зеркальной симметрией), которое открыли физики. Доказательство этой гипотезы и в самом деле стало значительной вехой, обеспечившей независимое подтверждение тому, что физическая интуиция вполне оправданна, но оно почти ничего не сделало для объяснения самой зеркальной симметрии как явления. Именно это я уже некоторое время пытался сделать, двигаясь параллельным курсом.

Все началось с нашего разговора с Эдвардом Виттеном 1995 г. на конференции по зеркальной симметрии в итальянском Триесте, организованной Камраном Вафой и другими учеными. Виттен рассказал мне о новой «теории браны», которую он разрабатывал вместе с Джо Полчински и другими коллегами. Браны представляли собой особый тип поверхностей разных размерностей — суперсимметричных минимальных подмногообразий, которые приобретали огромное значение в теории струн и других областях теоретической физики. Одна из причин, по которым физики заинтересовались бранами, состояла в том, что они позволяли значительно обобщить теорию струн. 1-мерная брана — это то же самое, что струна, но теперь в теории появились и другие фундаментальные составляющие: 2-мерная брана похожа на мембрану или лист, 3-мерная брана напоминает 3-мерное пространство и т. д. Таким образом исследователи получили множество кирпичиков, с которыми можно было играть, а их теория в результате стала намного богаче.

Виттен рассказал мне о некоторых новых идеях относительно бран, выдвинутых физиками Эндрю Строминджером, Катрин Бекер и Мелани Бекер, и спросил, имеют ли эти идеи смысл и естественны ли они с точки зрения геометрии. Я сказал, что они вполне естественны, а вскоре после этого сообразил, что математики Риз Харви и Блейн Лоусон, по существу, уже натыкались на эти идеи ранее, хотя соответствующие объекты они называли не бранами, а «специальными циклами лагранжиана».

Я начал размышлять о том, как эти подмногообразия, или циклы, могут быть связаны с внутренней структурой многообразий Калаби — Яу в теории струн. Вскоре после возвращения в Гарвард я вместе с постдоком Эриком Заслоу начал работать над этим вопросом. Особенно серьезного прогресса мы добились в вопросе о том, чему конкретное подмногообразие некоторого многообразия Калаби — Яу должно соответствовать в зеркальном многообразии Калаби — Яу. Мы показали, к примеру, что 3-мерный тор, или «бублик», отображается в зеркале в точку (соответствует ей).

Вскоре Строминджер приехал в Гарвард на собеседование по поводу возможной работы на кафедре физики и в конечном итоге получил это место. Мы втроем объединили силы в попытке найти простую геометрическую картину зеркальной симметрии. Главная идея родившейся в результате наших усилий гипотезы SYZ (Строминджера — Яу — Заслоу) — показать, как возникает зеркальная симметрия и как создавать зеркальные многообразия. Базовый подход, который мы предложили, состоит в том, чтобы взять 6-мерное многообразие Калаби — Яу и разбить его на два 3-мерных подмногообразия, которые затем следует модифицировать особым образом и снова соединить воедино. В конце этой процедуры, если она проделана корректно, получится многообразие, зеркальное к первоначальному многообразию Калаби — Яу. Метод, предложенный Строминджером, Заслоу и мной, помогает осветить тонкую геометрическую связь между каждой зеркальной парой и дает, таким образом, указания на то, как работает зеркальная симметрия. Многие из тех, кто прочел нашу статью 1996 г., были удивлены простотой подхода. Благодаря гипотезе SYZ, отметил Строминджер, «завесу тайны над зеркальной симметрией удалось слегка приоткрыть. Математикам она понравилась, потому что позволила получить картину того, откуда берется зеркальная симметрия, и эту картину можно использовать без отсылки к теории струн».

Через два десятка лет после рождения «гипотеза» SYZ, доказанная только в особых случаях, но пока не доказанная в целом, показала замечательную стойкость. Она и сегодня остается активной областью исследований. И, если верить математику из Университета Мичигана Цзи Личжэню, моему бывшему аспиранту, эта гипотеза служит «путеводным принципом для целого поколения людей, работающих над зеркальной симметрией». Еще один бывший мой студент, Конан Люн, продолжает выдавать интереснейшие статьи про SYZ. Многочисленные семинары, посвященные SYZ и родственной ей теме «гомологическая зеркальная симметрия», ежегодно проводятся коллаборацией с участием внушительной группы игроков из таких университетов, как Гарвард, Беркли, Брандейс, Колумбия, Стоуни-Брук, университетов Пенсильвании, Майами и IHES, при поддержке фонда Саймонса (основанного Джимом Саймонсом).

На протяжении последних нескольких лет, говорит мой коллега Лянь Бон, «геометрическая и алгебраическая картины зеркальной симметрии начали сходиться. Наблюдается прогресс в направлении оформления этой идеи [зеркальной симметрии] в одной (хотя и сложной) формуле».

Зеркальная симметрия оказала сильное и удивительно серьезное влияние на исчислительную и алгебраическую геометрию, а также на многие другие области математики. Математические конференции по зеркальной симметрии и SYZ до сих пор регулярно проводятся по всему миру. Приятно думать, что этот активный сектор математического мира — порождение теории струн и работы, которую первоначально проделали, в значительной степени, мой бывший постдок Грин и его компаньон Плессер в конце 1980-х гг. Хотя до сих пор не доказано, что теория струн есть «теория всего», на что некоторые надеялись, она показала свою полезность в математике и во многих областях физики. А исследования в этих направлениях в настоящее время расширяются, за ними очень интересно наблюдать и участвовать в них.

Подробнее читайте:
Яу, Ш. Контур жизни: Математик в поиске скрытой геометрии Вселенной / Яу Шинтун, Стив Надис; Пер. с англ. [Натальи Лисовой] —  М.: Альпина нон-фикшн, 2020. — 394 с.