Общая формулировка гипотезы оставалась открытой с 1939 года
Математик Левент Альпёге (Levent Alpöge) опубликовал в социальной сети X возможный контрпример к гипотезе якобиана — одной из известных проблем алгебраической геометрии. По его словам, контрпример найден языковой моделью Claude Fable. Общая формулировка гипотезы оставалась открытой с 1939 года — то есть не существовало ни доказательства, ни контрпримера.
Гипотеза якобиана утверждает: если компоненты отображения являются многочленами, а определитель матрицы Якоби (якобиан) равен одной и той же ненулевой константе во всем пространстве, то у отображения существует глобальное обратное отображение, причем его координаты тоже выражаются многочленами. Для случая двух переменных гипотезу сформулировал Людвиг Краус в 1884 году, а в общем виде — Отто Генрих Келлер в 1939 году. В 1998 году Стивен Смейл включил ее в список 18 важнейших математических задач XXI века под номером 16. Общая формулировка гипотезы оставалась открытой — то есть не существовало ни доказательства, ни контрпримера.
На практике реализация гипотезы выглядит следующим образом. Если взять несколько многочленов от нескольких переменных и объединить их в одно отображение, то в трехмерном случае оно получает на вход числа x, y и z, а возвращает три новых числа:
F(x, y, z) = (F1, F2, F3).
Далее необходимо составить матрицу Якоби: в нее входят производные каждой выходной координаты по каждой входной. Если ее определитель не равен нулю, отображение локально обратимо, то есть в достаточно малой окрестности каждой точки существует обратное отображение.
20 июля Альпёге опубликовал явный контрпример гипотезы якобиана, который получил с помощью Claude Fable. Само отображение имеет вид:
F1 = (1 + xy)3z + y2(1 + xy)(4 + 3xy),
F2 = y + 3x(1 + xy)2z + 3xy2(4 + 3xy),
F3 = 2x − 3x2y − x3z.
Его значения совпадают для трех различных точек:
(0, 0, -1/4),
(1, -3/2, 13/2),
(-1, 3/2, 13/2).
Определитель матрицы Якоби отображения во всех точках равен −2. То есть, несмотря на выполнение условия гипотезы, отображение не является однозначным: даже не две, а три различные точки пространства переходят в один и тот же образ. Следовательно, обратного отображения не существует, а гипотеза якобиана в первоначальной формулировке оказывается неверной.
Пока контрпример опубликован лишь в социальной сети X и не сопровождается препринтом или рецензируемой публикацией. Примечательно, что он оказался не громоздкой конструкцией, а сравнительно компактным полиномиальным отображением третьей размерности. Математики смогли быстро самостоятельно проверить вычисления. Если контрпример в итоге признают корректным, он автоматически опровергнет не только гипотезу якобиана, но и эквивалентную ей гипотезу Диксмье. Кроме того, результат повлияет на исследования, связанные с полиномиальными отображениями и алгебраической геометрией.
Подробнее о том, как нейросети решают открытые математические задачи, можно прочитать в нашем материале «Рог математического изобилия».