А фигуры с 58 и 64 шарами вычеркнули из колбасно-упакованных
Голландские физики проследили за формами массива коллоидных частиц, промоделировали их поведение, и обнаружили, что колбасная упаковка оптимальна для меньшего числа шаров. Теперь из списка колбасно-упакованных массивов вычеркнули фигуры с 58 и 64 шарами — для них более оптимальными оказались октаэдры с отсутствующими гранями и вершинами. Работа опубликована в журнале Nature Communications.
Уже шесть лет как достоверно известно, что в трехмерном пространстве кубическая гранецентрированная решетка обладает максимальной плотностью упаковки. В реальности же шаров всегда оказывается конечное количество. В таких задачах не всегда плотнейшая шаровая упаковка в ГЦК решетке является самой оптимальной — например, если рассмотреть распределение шаров в выпуклой оболочке, натянутой на них. В 1975 году венгерский математик Ласло Фейеш Тот выдвинул гипотезу, что для шаров в пространстве с размерностью больше пяти линейное упорядочение будет самым плотным. В своей терминологии он использовал следующие обозначения: колбаски — одномерные упаковки, кластеры — упаковки в размерности пространства (то есть трехмерные фигуры для трехмерного пространства) и пиццы — все промежуточные варианты (плоские двумерные фигуры).
Было показано, что это действительно выполнимо для пространств с размерностями более 42. Для четырехмерных шаров существует граничное число, разделяющее колбасные от кластерных упаковок, но оно является достаточно большим — 338196 четырехмерных шара. А вот для трехмерного пространства было обнаружено необычное поведение: колбасная упаковка наблюдается для всех шаров с числом от 1 до 55, а также 57, 58, 63 и 64. Такое пограничное резкое изменение оптимальной упаковки называется колбасным коллапсом (sausage catastrophe). Во всех остальных вариантах кластерная упаковка оказывается более оптимальной, но до конца не понятно, какая кластерная упаковка соответствует конечному числу шаров.
Подойти к этой проблеме экспериментально решили голландские и японские физики под руководством Марджолейн Дейкстры (Marjolein Dijkstra) из Утрехтского университета. Для этого они наблюдали за броуновским движением коллоидных сферических частиц из полистирола или оксида кремния в гигантских однослойных пузырьках. Чтобы поместить сферы с размером в 2,12 микрометра в однослойные пузырьки авторы применили модифицированный метод капельного переноса. Для этого раствор фосфолипида DOPC (1,2-dioleoyl-sn-glycero-3-phosphocholine) и красителя (Liss Rhod PE) в минеральном или парафиновом масле добавляли к водному раствору глюкозы и к водному раствору сахарозы с микрочастицами оксида кремния. После чего отбирали полученную эмульсию из первого раствора и добавляли ко второму. Таким образом и получались пузырьки с липидной мембраной, которые помещали в условия повышенной концентрации вещества снаружи (так называемый гипертонический шок), чтобы контролировать их форму управляемым образом — как клетками эритроцитов.
В реальности ученым удалось наблюдать не только колбасную или кластерную упаковку, но и плоскую. Правда с помощью их метода поместить в везикулу шариков больше девяти не вышло — они создавали слишком большое внутреннее давление и мембрана сильно искажалась. При том авторы могли контролировать соотношение площади поверхности везикулы к ее объему с помощью концентрации сахарозы в растворе — при высоком объеме относительно сферы с такой же площадью поверхности получались кластерные конфигурации, при малых — колбасные, а при промежуточных — плоские. Более того, наблюдая за одной везикулой, можно увидеть и промежуточные состояния, в которых шарики будут формировать плоские или колбасные упаковки.
В добавок к экспериментальным наблюдениям авторы провели молекулярно-динамическое моделирование везикул с заполнением от 10 до 150 шаров. Оболочка в данном случае была выбрана как можно более облегающей шары. Колбасные упаковки ученые сравнивали с кластерами, полученными из оптимизации потенциала Леннарда — Джонса, однако практически все из них оказались менее оптимальными, чем колбасная упаковка. Не найдя удовлетворительных вариантов среди существующих структур, физики решили перебрать правильные фигуры и конструировать из шаров тетраэдры, пирамиды и октаэдры с отсутствующими вершинами и срезами.
Так тетраэдр становится более предпочтительным при 84 шарах, а если убрать у него по четыре шара от каждой вершины, то он станет еще более оптимальным при 68 шарах. Октаэдрические упаковки ведут себя еще хуже — только при 79 шарах они становятся лучше колбасной упаковки, и то если убрать по одному шару с каждой вершины. Авторам даже удалось подобрать нужную упаковку для 58 и 64 шаров — хотя ранее они были в списке колбасных упаковок — для этого нужно убрать от правильного октаэдра из 85 шаров целые грани и вершины.
А пока физики пытаются реализовать конечные упаковки шаров и понять колбасный коллапс, математики вовсю находят плотнейшие шаровые упаковки в пространствах высокой размерности — как и зачем читайте в нашем материале «Один сломал, другой потерял».