Физики смоделировали охоту с борзыми на хаотичного зайца

Европейские физики построили модель преследования борзыми зайца, который случайным образом меняет свою скорость. Им удалось получить аналитические выражения для времени погони в одно- и двумерном случае, а также рассчитать энергетические затраты борзых в различных режимах преследования. Работа опубликована в Physical Review Letters.

Теория преследования — это раздел математики, который вырос из классической задачи XVIII века о собаке, бегущей с постоянной скоростью в сторону зайца, убегающего от нее по произвольной прямой траектории. С тех пор было развито множество моделей для поиска оптимального типа преследования либо, наоборот, уклонения. Несмотря на свое зоологическое происхождение, теория преследования применяется в широком диапазоне технических задач, начиная от создания систем противоракетной обороны и заканчивая разработкой поисковых алгоритмов.

Определенные усилия математиков и физиков были сосредоточены вокруг стохастического движения участников погони. Этот фактор особенно важен при исследовании движения нанороботов или биологических объектов, преследующих цель. Сегодня существуют модели, которые описывают стохастические элементы погони лишь численно, либо аналитически, но с геометрическими ограничениями. Однако пока нет общей модели, в которой хищники преследуют цель, случайно перемещающуюся в пространстве.

Такую модель решили построить Давиде Бернарди (Davide Bernardi) из Итальянского технологического института со своим немецким коллегой. Она описывает одну или нескольких борзых, преследующих зайца, который случайным образом меняет направление и модуль своей скорости по закону нормального (гауссовского) распределения с некоторой амплитудой, определяемой коэффициентом диффузии. Хищники, в свою очередь, имеют постоянную по величине скорость, однако в каждый момент времени ее направление меняется в сторону добычи. Все объекты в модели движутся без инерции. В начальный момент времени борзые равноудалены от своей цели, а преследование заканчивается в тот момент, когда заяц оказывается в некоторой заданной близости от хищника.

Сначала физики опробовали модель на одномерном случае. Для такой размерности борзых может быть либо одна, либо две. Физики вычисляли распределение времен погони для обоих случаев, меняя коэффициент диффузии. Для случая одного хищника рост шумности (диффузности) движения зайца приводил к большему разнообразию времен погони, хотя среднее время при этом не менялось. Для двух же борзых среднее время уменьшалось с ростом коэффициента диффузии. Это очевидный результат, учитывая, что две борзые, идущие к добыче с разных сторон, образуют сжимающиеся границы. В таких условиях максимальное время погони достигалось бы при покоящемся зайце.

Затем авторы перешли к двумерной задаче. Здесь борзые стартовали, равномерно распределившись по точкам, лежащим на окружности с центром в зайце. Анализ показал, что в этом случае все возможные траектории зайца разделяются на два класса, в зависимости от того, покинул заяц окружность или нет. Баланс между ними определяла величина коэффициента диффузии: чем он больше, тем чаще добыча прорывает блокаду. В таком сценарии борзые стремятся сгруппироваться, а преследование хорошо описывается всего лишь с учетом одной, наиближайшей борзой.

Исследуя зависимость среднего времени преследования от числа борзых физики выделили два предельных случая. Когда хищник всего один, задача имеет точное решение и похожа на одномерный случай. Когда же число хищников становится слишком велико (32 для параметров, выбранных в работе), они своими близостями поражения жертвы полностью замыкают окружность, не оставляя жертве выхода, и задача также становится похожа на одномерный случай с двумя борзыми. Для всех промежуточных случаев зависимость среднего времени преследования от коэффициента диффузии немонотонна и имеет минимум.

В последней части исследования авторы оценили связь времени преследования со скоростью борзых. На ее основе физики рассчитали суммарные энергетически затраты со стороны хищников на погоню в предположении, что за энергопотери отвечает сопротивление среды движения, пропорциональное скорости. Для разного числа борзых затраты росли монотонно со скоростью, однако все кривые пересекались в одной точке. Это означало, что, если хищники бегут быстро, то оптимальнее использовать всего одну борзую, в противном же случае выгоднее ловить зайца большим их числом. Это правило сохранилось даже и тогда, когда авторы добавили в энергетический баланс хищников траты на «базовый метаболизм», который не зависит от скорости.

Модели преследования уже сейчас можно контролируемо проверять в относительно простых биологических системах. Мы уже рассказывали, как ученые для этого пугали рыб данио-рерио роботами.

Марат Хамадеев