Математики из Института науки и технологий Окинавы (OIST) и Католического университета Святого Сердца решили задачу о поведении мыльной пленки в гибком каркасе. Эта задача — более сложный вариант классической задачи Плато, в которой требуется доказать, что для любого замкнутого жесткого каркаса в пространстве найдется поверхность минимальной площади с границей на каркасе. Именно такую минимальную поверхность повторяет мыльная пленка, которая образуется, если окунуть каркас в мыльный раствор. Исследование опубликовано в Journal of Nonlinear Science, кратко о нем сообщает пресс-релиз OIST.
Классическая задача Плато была сформулирована Лежандром в 1760 году — свое название она получила в честь бельгийского физика Джозефа Плато, экспериментировавшего с мыльными пленками. Она исходит из того, что мыльная пленка на данном каркасе стремится обладать как можно меньшей энергией поверхностного натяжения. Так как эта энергия прямо пропорциональна площади пленки, то это равносильно стремлению обладать минимальной площадью поверхности. Доказать, что минимальную поверхность можно найти для любого жесткого каркаса удалось лишь в 1930 году — спустя 170 лет с формулировки задачи. Автор доказательства, Джесси Дуглас, получил за это в 1936 году престижную Филдсовскую премию.
В дальнейшем задача была обобщена на высшие размерности Анатолием Фоменко, а американские математики Дженни Харрисон и Харрисон Пью рассмотрели ситуации, когда в мыльной пленке есть стыки между отдельными «мыльными гранями». Однако на практике каркасы для мыльной пленки не всегда абсолютно жесткие. Например, каркас можно сделать из легко деформируемой лески или нити, которая легко стягивается мыльной пленкой. Задача о существовании поверхности с минимальной энергией с учетом деформации каркаса оказалась гораздо сложнее. Она получила название задачи Кирхгофа-Плато по названию модели эластичного стержня — модели Кирхгофа.
Исследователи пытались обобщить решение задачи Плато на новую задачу, но в ней возникает ряд сложностей. Кроме деформаций каркаса, в оригинальной задаче рассматриваются бесконечно тонкие объекты. В ситуации с реальным эластичным объектом такое недопустимо: леска во много раз толще, чем мыльная пленка. Соответственно, пленка примыкает не к средней линии каркаса, а к одной из боковых поверхностей.
Авторы новой работы смогли учесть все эти особенности и создали требуемые математические модели. Поскольку мыльная пленка гораздо тоньше каркаса, она описывалась двумерной поверхностью. По словам Элиота Фрида, соавтора исследования, оказалось что «вне зависимости от того, насколько сильна конкуренция между мыльной пленкой и упругим откликом каркаса, система всегда может достигнуть состояния с наименьшей энергией». Интересно, что решение включает в себя не только деформации каркаса, но и возможность соприкосновения отдельных его частей — так, например, мыльная пленка стягивает окружность из обычной нитки.
Проанализировав систему математики показали существование минимизатора — специальной «последовательности операций», которая модифицирует систему из пленки и каркаса так, что ее энергия становится минимальной. Ключевым шагом стало описание функционала этой системы (выражения, которое позволяет определить полную энергию системы) целиком на основании состояния каркаса. Иными словами, в это выражение не входит описание геометрии мыльной пленки.
В будущем авторы планируют исследовать неустойчивые решения задачи Кирхгофа-Плато — ситуации, когда возможно несколько минимальных конфигураций системы. Ученых интересует поведение поверхностей и каркасов в точках бифуркации (когда система принимает одну из нескольких конфигураций). Кроме того, математики разрабатывают компьютерные модели, которые помогут детально описать поведение таких систем.
Интересно, что помимо описания мыльных пленок, задача Кирхгофа-Плато актуальна и в биохимии. По словам авторов, она поможет понять, как форма белковой молекулы влияет на ее связывание с различными поверхностями.
Ранее физики из Массачусетского технологического института проанализировали механические свойства пористого графена, изогнутого в виде гироида — трижды периодичной минимальной поверхности. Теоретики предсказали, что такая структура будет обладать минимальной плотностью. Исследователи надеялись, что такой пористый материал сможет стать основой для дирижаблей нового поколения.
Владимир Королёв