Кривизна нам не помеха

В пятой задаче нашего изобретательского конкурса предлагалось придумать линейку и циркуль для стола, поверхность которого является эллипсоидом.

Если бы поверхность была шаром, задача бы решалась тривиальным образом. Хорошо известно, например, что окружность на шаре — то есть множество точек, равноудаленных от фиксированной, — представляет собой обычную окружность. Значит, для работы подошел бы обычный циркуль. В свою очередь «прямая» — то есть кривая кратчайшей длины — между двумя точками есть дуга большого круга, то есть окружности, полученной сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы и эти самые две точки.
К сожалению, большинство присланных ответов не учитывали представление об окружности, как о множестве равноудаленных от центра точек. Вместо этого предлагалось адаптировать обычный циркуль для работы на кривых поверхностях. Именно поэтому, в финал прошли только три варианта

1. Циркуль, в силу выпуклости эллипсоида, реализуется в виде обычного циркуля, у которого чертящая часть и иголка соединены гибкой, но не тянущейся материей (допустим, суровой ниткой) у самого конца так, чтобы длину этой материи можно было фиксировать. Тогда в случае маленьких окружностей нитка будет максимум касаться эллипса, в случае же окружностей, сравнимых по радиусу с длиной оси эллипса она будет огибать его и уменьшать раствор циркуля в трёхмерном евклидовом пространстве, тем самым обеспечивая его постоянство в метрике эллипса. Реализуется это фиксацией одного конца нити в нижней части держателя стержня, пропусканием нити через небольшое отверстие в иголке и ручной фиксацией с помощью зажима на нужной длине в верхней части циркуля. Также можно было бы реализовать его с помощью разделенных иголки и карандаша, связанных ниткой, но это банально неудобно.

2. С линейкой все сложнее, так как даже гибкая линейка, будучи приложенной к эллипсоиду, не обязательно будет идти по его геодезической (для примера можно взять экватор эллипса, который очевидная геодезическая, и сместить его в одну из сторон —линейка сможет пройти касательно ему, но это будет уже не геодезическая). Ее можно реализовать, подложив под половину эллипсоида систему, позволяющую перемещать сжимаемую, но не гибкую палку (телескопическую). Тогда она будет соединять полярные точки, и любая линия, проходящая через них и третью точку по наименьшему пути, будет геодезической. Обеспечить «наименьшесть» пути поможет резинка обыкновенная, к кнопке присобаченная, а менять касательную к геодезической позволит вращение телескопической палки под столом.

Таким образом, алгоритм получения геодезической на половине эллипса выглядит так: рисуется короткая касательная в нужной точке (при помощи обычной линейки). В эту точку втыкается кнопка канцелярская, к кнопке прикрепляется резинка (не концом, а серединой). Два конца резинки прикреплены к двум концам телескопической палки, находящейся под столом. Вращением палки подбираем направление геодезической, которая проходит через заданную точку. Резинка образует необходимую прямую, вдоль резинки и рисуем (прим.: вместо резинки, чтобы не портить чертёжные материалы, можно взять ту же суровую нитку, а натяжение обеспечить пружиной внутри телескопической палки)

Циркуль-линейка представляет собой:

1) Нитка.

2) Жук.

3) Чернила.

Привязываем жука (от размера жука зависит толщина линии) к одному концу нитки, макаем его в банку с чернилами. Отмеряем на нитке нужную длину и зажимаем эту «точку» пальцем. Ставим палец с ниткой и жука на точку отсчета. Пугаем жука по кругу — вот вам циркуль. Пугаем жука в одну сторону — вот вам линейка.

Линейка состоит из n шарнирных шаровых фиксируемых(болтами) соединений, сначала чертятся отрезки, затем линейка сдвигается и чертится вторая половина отрезков (промежутки м\у шарнирами меньше длинны след. части).

Циркуль: красная подвижная часть длины m выставляет радиус, синяя подпружиненая длины k с карандашом на конце позволяет рисовать окружность по перепадам высот.