Что такое симметрия
Знание геометрии позволяет не только решать задачки с фигурами, но и разобраться в некоторых явлениях из реальной жизни. Например понять, что общего у машинного обучения и альпинизма и почему нужно с осторожностью экстраполировать данные, прогнозируя количество смертей от ковида. В книге «Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального» (издательство «Манн, Иванов и Фербер»), переведенной на русский язык Евгением Поникаровым, математик Джордан Элленберг рассказывает о геометрии, которую не проходят в школе, и о том, как можно ее применять. Предлагаем вам ознакомиться с фрагментом, посвященным тому, какая разная бывает симметрия.
Симметрия — это основа современного понимания геометрии. Более того, то, что мы решаем считать симметрией, определяет, с какой геометрией мы имеем дело.
В евклидовой геометрии симметрии — это движения фигур как твердого тела: любые комбинации сдвигов (переносов), переворачиваний (отражений) и вращений. Язык симметрии позволяет говорить о конгруэнтности (равенстве) более современным способом. Вместо того чтобы сказать: два треугольника конгруэнтны, когда соответствующие стороны и углы равны, мы говорим: треугольники конгруэнтны, если существует движение, которое переводит один в другой. Разве это не более естественно? Действительно, читая Евклида, чувствуешь, что он еле сдерживается (не всегда успешно), чтобы не выразиться именно таким образом.
Зачем в качестве фундаментальных симметрий брать движения? Одна из веских причин состоит в том (хотя доказать это не так-то легко), что именно движения — это то, что вы можете проделывать с плоскостью, сохраняя при этом расстояние между точками; собственно, и слово симметрия происходит от древнегреческого слова συμμετρία (соразмерность), которое образовано из слов συμ- (вместе, с, совместно) и μετρέω (измеряю). Термин, означающий «равная мера», был бы лучше; и действительно, в современной математике словом изометрия (от греческих слов ἴσος — равный, одинаковый, и μετρέω — измеряю) называют преобразования, которые сохраняют расстояние.
Эти два треугольника конгруэнтны, а потому мы склонны, как и Евклид, считать, что они равны, несмотря на то что на самом деле это два разных треугольника, расположенных в нескольких сантиметрах друг от друга.
Это подводит нас к другому изречению постоянно цитируемого Пуанкаре:
Математика — это искусство давать одно название разным вещам.
Подобные проблемы с определениями — часть нашего мышления и речи. Представьте, что кто-то спрашивает вас, не из Чикаго ли вы, а вы отвечаете: «Нет, я из Чикаго двадцатипятилетней давности». Это было бы абсурдной педантичностью, поскольку, говоря о городах, мы неявно подразумеваем симметрию при переносе во времени. В стиле Пуанкаре мы называем Чикаго прошлого и Чикаго настоящего одним и тем же словом.
Конечно, мы могли бы строже Евклида отнестись к тому, что считать симметрией: например, запретить отражения и вращения, оставив только перенос на плоскости без поворотов. Тогда эти два нарисованных выше треугольника уже не были бы равны, поскольку указывают в разных направлениях.
А если оставить вращения, но отказаться от отражений? Вы можете представить это как класс допустимых преобразований, но только в пределах плоскости: вы можете передвигать и поворачивать объекты, но запрещается их поднимать и переворачивать, поскольку это означает запрещенный выход в трехмерное пространство. Согласно таким правилам, мы по-прежнему не можем назвать эти два треугольника одним именем. В левом треугольнике порядок сторон от самой короткой к самой длинной идет против часовой стрелки. Как бы вы ни двигали и не поворачивали эту фигуру, это свойство сохранится, а значит, левый треугольник никогда не совпадет с правым, в котором короткая, средняя, длинная стороны идут по часовой стрелке. Отражение меняет направление по часовой и против часовой стрелки, а переносы и повороты — нет. Без отражения направление обхода короткая, средняя, длинная сторона — это свойство треугольника, которое никакая симметрия не изменит. Это то, что мы называем инвариантом.
У каждого класса симметрий есть собственные инварианты. Движение не может изменить площадь треугольника или любой иной фигуры; в терминах физики мы могли бы сказать, что это закон сохранения площади для движения. Есть и закон сохранения длины, поскольку движение не может изменить длину отрезковДолжен добавить, что сохранение длины влечет за собой сохранение площади треугольников, поскольку два треугольника с одинаковыми сторонами конгруэнтны, а потому имеют одинаковую площадь; вы также можете воспользоваться красивой формулой Герона (названной так в честь математика Герона Александрийского), которая выражает площадь треугольника через его стороны..
Повороты плоскости понять легко, однако переход к трехмерному пространству значительно усложняет дело. Еще в XVIII веке (опять Леонард Эйлер!) ученые выяснили, что любое вращение трехмерного пространства можно представлять как вращение вокруг какой-то неподвижной прямой — оси. Пока все хорошо, но остается куча вопросов. Предположим, я совершаю поворот на 20 градусов вокруг вертикальной оси, а потом на 30 градусов вокруг оси, указывающей горизонтально на север. Результирующее вращение должно оказаться поворотом на некоторое количество градусов вокруг какой-то прямой, но какой? Получится примерно 36 градусов вокруг оси, направленной вверх и куда-то на северо-северо-запад. Но увидеть это непросто! Человеком, разработавшим гораздо более удобный способ думать об этих вращениях — представлять их в виде своеобразного числа, называемого кватернионом, — был тот самый друг Вордсворта, Уильям Роуэн Гамильтон. Как известно, 16 октября 1843 года Гамильтон с женой шли вдоль Королевского канала в Дублине, когда... Давайте дадим слово самому Гамильтону.
Хотя она время от времени разговаривала со мной, в моей голове шла подспудная работа мысли, которая в итоге дала результат, и не будет преувеличением сказать, что я сразу понял его важность. Казалось, замкнулась электрическая цепь и проскочила искра... Я не смог устоять перед побуждением — каким бы противоречащим философии оно ни было, — проходя по мосту Брумридж, вырезать ножом на его каменной кладке фундаментальную формулу...
Гамильтон бо́льшую часть оставшейся жизни изучал следствия из своего открытия. Излишне говорить, что он написал о нем стихотворение. («Наука высших сфер с суровым очарованием чисел и фигур влекла нас за собой, и мы стремились узреть ее нерожденное потомство...» В общем, вы уловили идею.)
Мы также можем повернуть ручку в сторону ослабления условий и рассмотреть более широкий спектр преобразований. Мы могли бы разрешить увеличение и уменьшение так, чтобы показанные далее фигуры считались равными.
Некоторые величины, раньше бывшие инвариантами (например, площадь треугольников), в таком более мягком представлении о тождественности уже ими не будут. Однако другие величины (например, углы) инвариантами остаются. На школьных уроках геометрии фигуры, одинаковые в этом более широком смысле, назывались подобными.
А еще мы можем изобрести совершенно новые понятия, с которыми никогда не сталкивались в школе. Мы можем, скажем, разрешить преобразование под условным названием скронч, которое будет растягивать фигуру по вертикали с определенным коэффициентом и одновременно сжимать ее по горизонтали с тем же коэффициентомПреобразования такого рода хорошо известны мультипликаторам, которые называют их сквош и стрейч (сжатие/растяжение) и уже почти век используют для того, чтобы объекты на экране выглядели достаточно «мультяшными»..
При скронче какой-нибудь фигуры ее площадь не меняется. Это очевидно для прямоугольников, ориентированных сторонами по вертикали и горизонтали: поскольку их площадь равна произведению сторон, при скронче высота умножается на какое-то число, а ширина делится на это же число, поэтому произведение останется прежним. Посмотрим, можете ли вы доказать тот же факт для треугольника, что гораздо сложнее!
В скронч-геометрии (скрончметрии) мы называем две фигуры равными, если можем перейти от одной к другой с помощью параллельного переноса и скронча. Два скронч-равных треугольника имеют одинаковую площадь, но два треугольника с одинаковой площадью не обязательно скронч-равные: например, после скронча любой горизонтальный отрезок остается горизонтальным, следовательно, треугольник с одной горизонтальной стороной нельзя сделать скронч-равным треугольнику без горизонтальной стороны.
Даже на плоскости есть большое количество возможных типов симметрии, поэтому охватить их здесь максимально исчерпывающе нереально. Чтобы дать скромное представление об этом «зверинце», приведем диаграмму из авторитетной книги Гарольда Коксетера и Самуэля Грейтцера «Новые встречи с геометрией».
Это дерево во многом похоже на генеалогическое древо, где каждый «ребенок» — частный случай «родителя». Поэтому изометрия (то, что мы называли движением) — это частный случай подобия, а отражения и вращения — частный случай изометрии. «Прокрустово растяжение» — яркий термин Коксетера и Грейтцера для скронча. Аффинные преобразования — те, что получатся, если вы разрешите скронч и подобие. Язык симметрии дает нам естественный способ организовать многие определения в планиметрии (геометрии на плоскости). Упражнение: покажите, что эллипс — это любая фигура, получаемая аффинным преобразованием из круга. Более сложное упражнение: покажите, что параллелограмм — это любая фигура, которая получается аффинным преобразованием из квадрата.
Не существует правильного ответа на вопрос, какие пары фигур «действительно» одинаковые. Это зависит от предмета нашего интереса.
Если нас интересует площадь, то подобия будет недостаточно, поскольку площадь не инвариантна относительно подобия. Но если нас заботят только углы, то незачем настаивать на конгруэнтности: это может быть чересчур трудоемко.
Подобия вполне достаточно. Каждое понимание симметрии порождает собственную геометрию, собственный способ решать, какие вещи отличаются настолько, что лучше не давать им одинаковых названий.
Евклид непосредственно о симметрии почти не писал, но его последователи не могли не задуматься об этом, даже в контекстах, далеких от плоских фигур.
Идея, что при симметрии должны сохраняться те или иные важные величины, естественна для нашего мышления. Линкольн, например, писалИз личных заметок, написанных до Гражданской войны. Michael Burlingame, Abraham Lincoln: A Life (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2013), 510 в своих личных заметках в 1854 году в весьма геометрическом стиле:
Если А. способен убедительно доказать, что он может по праву поработить B., то почему B. не может воспользоваться тем же аргументом и точно так же доказать, что он может поработить А.?
Линкольн предполагает, что моральная допустимость должна быть инвариантом, подобно площади евклидова треугольника, и не должна меняться только потому, что вы отразили фигуру, чтобы она указывала в противоположном направлении.
При желании мы можем пойти еще дальше, выйдя за рамки школьных уроков. Никаких карандашей, книг и неодобрительных взглядов Евклида! Мы могли бы позволить совершенно произвольно растягивать и сминать фигуры, лишь бы они не рвались; то есть треугольник может стать окружностью или сложиться в квадрат:
но не может стать отрезком, поскольку для этого его пришлось бы где-то разорватьЕсли вы желаете узнать настоящее определение идеи, которую я здесь несколько неточно обрисовал, то вам нужно искать слово гомеоморфизм. Впрочем, предупреждаю, что на пути к формальному определению вам понадобится познакомиться с некоторым количеством обозначений. [На самом деле треугольник легко непрерывно перевести в отрезок (например, спроектировав его на одну из собственных сторон). Но это не гомеоморфизм, поскольку для гомеоморфизма нужно и обратное преобразование, а вот с ним будут проблемы. Прим. пер.]. Звучит знакомо? Этот экстравагантно неприхотливый вид геометрии, где треугольник, квадрат и окружность — одна и та же вещь, и есть топология, созданная Пуанкаре для решения задачи о соломинке. (Ладно, возможно, у него были и другие причины.) Эти симметрии, которые включают в себя все вышеупомянутые типы симметрии, представляют собой непрерывные преобразования, стоящие на ступеньку ниже самой верхней строки в диаграмме Коксетера и Грейтцера. В этой гибкой геометрии не сохраняются ни углы, ни площади. Отпадают все несущественные детали, о которых так заботился Евклид, остается только чистое представление о форме.
Подробнее читайте:
Элленберг, Джордан. Форма реальности. Скрытая геометрия стратегии, информации, общества, биологии и всего остального / Джордан Элленберг ; пер. с англ. Евгения Поникарова ; науч. ред. М. Гельфанд. — Москва : Манн, Иванов и Фербер, 2023. — 544 c. — (МИФ. Научно-популярные книги).