Галилей считал, что книга природы написана на языке математики; физик Ричард Фейнман, работавший над созданием атомной бомбы, называл матанализ языком, на котором говорит бог. И в самом деле: мир, как мы его сейчас понимаем, укладывается в правила, которыми руководствуется матанализ. В книге «Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны Вселенной» (издательство «Манн, Иванов и Фербер»), переведенной Евгением Поникаровым, математик и популяризатор науки Стивен Строгац доступно излагает основные понятия матанализа и демонстрирует, как они используются в современной жизни. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с отрывком, в котором рассказывается, как математический анализ связан с системой глобального позиционирования (GPS).
Согласно легенде, Галилей сделал свое первое научное открытие, еще будучи студентом-медиком. Однажды во время церковной службы в Пизанском соборе он заметил, что висевшая над головами люстра раскачивается подобно маятнику. Ее двигали потоки воздуха, и Галилей подметил, что для одного колебания всегда требуется одно и то же время — независимо от того, сильное оно или слабое. Это удивило его. Как могут большие и маленькие колебания занимать одинаковое время? Но чем больше он над этим думал, тем логичнее казался ответ. Да, при большом отклонении люстра проходила большее расстояние, но и двигалась она быстрее. Возможно, эти два эффекта уравновешиваются? Чтобы проверить эту догадку, Галилей измерил время колебания с помощью собственного пульса. И действительно, каждое колебание длилось одинаковое количество его ударов.
Эта легенда чудесна, и мне хочется в нее верить, однако многие историки сомневаются в ее истинности. Она дошла до нас от первого и самого преданного биографа Галилея — Винченцо Вивиани. Этот молодой человек был помощником и учеником Галилея в конце жизни ученого, когда тот ослеп и жил под домашним арестом. Разумеется, испытывая вполне понятное почтение к своему старому учителю, Вивиани приукрасил пару историй, когда писал биографию ученого после его смерти.
Но даже если история недостоверна (но, может, и нет!), мы точно знаем, что Галилей проводил опыты с маятниками еще в 1602 году и писал о них в книге «Две новые науки». В этой книге, построенной как сократовский диалог, один из персонажей говорит так, словно был тогда в соборе с тем мечтательным юным студентом: «Тысячи раз наблюдал я колебания, в особенности церковных паникадил, подвешенных часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающих незначительные движения». В остальной части диалога разъясняется, что маятнику требуется одно и то же время, чтобы пройти дугу любого размера. Итак, мы знаем, что Галилей был хорошо знаком с явлением, описанным в рассказе Вивиани; остается только догадываться, действительно ли именно он открыл его в молодости.
В любом случае утверждение Галилея, что колебания маятника занимают одно и то же время, не совсем верно; для больших размахов потребуется чуть больше времени. Но если дуга достаточно мала, скажем меньше 20 градусов, то это практически точно. Такая неизменность маятника при небольших колебаниях называется изохронностью, от др.-греч. ίσος (изос) «равный» и χρόνος (хронос) «время». Это свойство создает теоретическую основу для метрономов и маятниковых часов, от обычных напольных до башенных часов в лондонском Биг-Бене. Галилей сам конструировал первые маятниковые часы в мире в последний год своей жизни, но умер, так и не успев их доделать. Первые работающие маятниковые часы появились пятнадцать лет спустя — их изобрел голландский математик и физик Христиан Гюйгенс.
Галилея особенно интриговал (и разочаровывал) открытый им любопытный факт — элегантное отношение между длиной маятника и его периодом (временем, которое потребуется маятнику, что бы качнуться в обе стороны). Как объяснял ученый, «если мы пожелаем, чтобы один маятник качался в два раза медленнее, чем другой, то необходимо длину его сделать в четыре раза большею». Говоря языком отношений, он сформулировал общее правило: для тел, подвешенных на нитях разной длины, длины относятся друг к другу как квадраты периодов колебания. К сожалению, Галилею так и не удалось доказать это математически. Это была эмпирическая закономерность, которая нуждалась в теоретическом объяснении. Ученый годами работал над этой проблемой, но так и не смог с нею справиться. С точки зрения современной науки он и не мог этого сделать. Объяснение требовало новой математики, которой не владели ни он, ни его современники. Пришлось ждать Исаака Ньютона и его открытия языка, на котором говорит Бог, — языка дифференциальных уравнений.
Галилей признавал, что изучение маятников многим может показаться крайне скучным, хотя более поздние работы показали, что это совсем не так. В математике загадки маятника стимулировали развитие анализа. В физике и технике маятники стали образцами колебаний. Подобно строке Уильяма Блейка, где мир виден в песчинке*, физики и инженеры смогли увидеть мир в колебании маятника. Везде, где возникают колебания, применяется одна и та же математика. Доставляющие беспокойство движения пешеходного мостика, подпрыгивание автомобиля на амортизаторах, грохот стиральной машины с неравномерной загрузкой, трепетание жалюзи на ветерке, шевеления земли при повторных толчках после землетрясения, гудение флуоресцентных ламп, работающих с частотой шестьдесят герц, — в каждой области науки и техники сегодня найдется свой вариант таких ритмических движений, свой вариант колебаний. Маятник — это их дедушка. Его схема универсальна. Так что скучный — неподходящее слово.
Чтоб увидеть весь мир в песчаном зерне,
Небеса в полевом цветке,
Уместите вечность в одном лишь дне,
Бесконечность — в одной руке.
Иногда взаимосвязи между маятниками и другими явлениями настолько точны, что уравнения можно даже не менять. Достаточно по-другому истолковать символы, а синтаксис оставить тем же. Как будто природа раз за разом возвращается к одному и тому же мотиву — регулярному повтору темы маятника. Например, уравнения для колебания маятника без изменений можно перенести на работу генераторов, вырабатывающих переменный ток и отправляющих его в наши дома и офисы. Благодаря такой родословной электрики называют свои уравнения уравнениями колебаний.
Те же уравнения возникают в квантовых осцилляциях высокотехнологического устройства, которое в миллиарды раз быстрее и миллионы раз меньше, чем любой генератор или напольные часы. В 1962 году Брайан Джозефсон, тогда 22 летний аспирант Кембриджского университета, предсказал, что при температурах, близких к абсолютному нулю, электроны могут проходить туда и обратно через непроницаемый барьер из диэлектрика между двумя сверхпроводниками, что казалось абсолютным нонсенсом согласно классической физике. Тем не менее анализ и квантовая механика вызвали к жизни эти маятникообразные колебания, или, если выражаться менее мистически, открыли возможность их появления. Через два года после предсказания Джозефсона в лаборатории были созданы условия, необходимые для их возникновения, и они действительно были обнаружены. У устройств, использующих джозефсоновский переход, масса областей практического применения. Они способны обнаруживать сверхслабые магнитные поля, в сто миллиардов раз слабее поля нашей планеты, что помогает геофизикам находить нефть глубоко под землей. Нейрохирурги используют джозефсоновские переходы, чтобы точно определять места опухолей головного мозга и обнаруживать у пациентов с эпилепсией поражения, вызывающие судороги. В отличие от эксплоративных операций**, такие процедуры полностью неинвазивны***. Они работают посредством отображения мельчайших изменений магнитного поля, которое создается аномальными электрическими путями в мозге. Джозефсоновские переходы могут также обеспечить основу для крайне быстрых микросхем в следующем поколении компьютеров и даже сыграть определенную роль в квантовых вычислениях, которые произведут революцию в компьютерной науке, если это когда-нибудь произойдет.
Маятники также предоставили человечеству первый способ для точного отсчета времени. До появления маятниковых часов даже самые лучшие часы производили жалкое впечатление. Даже в идеальных условиях за день они отставали или уходили вперед на 15 минут. Маятниковые часы можно было сделать в сотни раз точнее. Они впервые давали реальную надежду на решение величайшей технологической задачи эпохи Галилея: найти способ определения долготы в морских путешествиях. В отличие от широты, которую можно установить, просто глядя на Солнце и звезды, долгота не имеет аналога в физической среде — это искусственная конструкция. Но проблема ее измерения была весьма реальной. В эпоху мировых открытий моряки отправлялись в океаны, чтобы воевать или вести торговлю, но часто сбивались с пути или садились на мель, потому что не знали своего местонахождения. Правительства Португалии, Испании, Англии и Голландии предлагали огромные деньги любому, кто решит проблему долготы. Это была задача первостепенной важности.
Когда Галилей в последний год жизни пытался сконструировать маятниковые часы, он имел в виду именно задачу определения долготы. Ученые уже с 1500-х годов знали, что проблему можно решить с помощью очень точных часов. Штурман мог установить часы в порту отправления и выйти в море с домашним временем. Чтобы определить долготу судна при его движении на восток или запад, штурман мог свериться с часами в точный момент местного полудня (когда солнце находится выше всего в небе). Поскольку Земля делает полный оборот (360 градусов) за 24 часа, каждый час расхождения между местным и домашним временем соответствует 15 градусам разницы в долготе. Однако в терминах расстояния 15 градусов на экваторе означает колоссальную тысячу миль. Следовательно, чтобы при такой схеме судно попадало в нужное место с допустимой ошибкой в несколько миль, точность хода часов должна была составлять несколько секунд в день. И эту точность требовалось поддерживать в бурном океане, при резких колебаниях давления воздуха и температуры, в условиях солености и влажности — факторах, способных привести к ржавлению механизма часов, растяжению пружин, загустеванию смазки, что могло ускорить, замедлить или даже остановить их ход.
Галилей умер, так и не успев сконструировать часы, которые можно было бы использовать для определения долготы. Христиан Гюйгенс представил свои маятниковые часы Лондонскому королевскому обществу в качестве решения проблемы, однако их конструкцию сочли неудовлетворительной, поскольку часы были слишком чувствительны к изменениям в окружающей среде. Позднее Гюйгенс изобрел морской хронометр, в котором колебания регулировались спиральной пружиной, а не маятником — новаторский проект, проложивший дорогу карманным и современным наручным часам. В итоге проблема долготы была решена в середине 1700-х Джоном Харрисоном, английским часовщиком-самоучкой. При испытаниях в море в 1760-х годах его хронометр H4 смог измерить долготу с точностью до 10 миль, чего оказалось достаточно для получения награды в 20 тысяч фунтов стерлингов от британского парламента (эквивалентно нескольким миллионам современных долларов)****.
В нашу эпоху проблема навигации по-прежнему опирается на точное измерение времени. Рассмотрим систему глобального позиционирования. Точно так же как механические часы были ключом к решению задачи определения долготы, атомные часы — это ключ к определению местоположения объектов на Земле с точностью до нескольких метров. Атомные часы — современная версия маятниковых часов Галилея. Они тоже следят за временем, отсчитывая колебания, только отслеживают не движения грузика, раскачивающегося вперед-назад, а подсчитывают колебания атомов при переходах между различными энергетическими состояниями, которых за одну секунду происходит 9 192 631 770. Хотя механизм и другой, принцип тот же. Повторяющиеся движения в противоположных направлениях можно использовать для определения времени.
В свою очередь, время может определить ваше местоположение. Когда вы используете GPS в своем телефоне или автомобиле, ваше устройство принимает беспроводные сигналы как минимум от четырех из двадцати четырех спутников системы глобального позиционирования, которые вращаются на орбите высотой около 20 тысяч километров. На каждом спутнике есть четверо атомных часов, синхронизированных между собой с точностью до миллиардной доли секунды. Различные спутники, которые видны вашему приемнику, направляют непрерывный поток сигналов, фиксируя время с точностью до наносекунды. Вот тут-то и нужны атомные часы. Их потрясающая временнáя точность преобразуется в не менее потрясающую пространственную точность, которую мы и привыкли ожидать от системы GPS.
Этот расчет опирается на триангуляцию — старый метод геопозиционирования, основанный на геометрии. В случае GPS он работает следующим образом: когда сигналы с четырех спутников поступают на приемник, ваше GPS-устройство сравнивает время их получения со временем их отправления и получает четыре разности, которые чуть-чуть отличаются, потому что спутники находятся от вас на разных расстояниях. Ваше устройство умножает эти разности на скорость света и получает расстояние до спутников. Поскольку положения спутников известны и точно контролируются, ваш GPS-приемник может провести триангуляцию и определить, в какой точке на поверхности он располагается. Он может также определить высоту над уровнем моря и скорость. По сути, GPS преобразует очень точные измерения времени в очень точные измерения расстояния и тем самым — в очень точные измерения местоположения и движения.
Система глобального позиционирования была разработана армией США во время холодной войны. Первоначальная цель состояла в отслеживании положения американских подводных лодок с ядерным оружием и обеспечении оценок их текущего положения, чтобы в случае необходимости нанесения ядерного удара они могли сверхточно нацеливать свои межконтинентальные баллистические ракеты. Мирные приложения GPS включают точные модели сельского хозяйства, слепую посадку самолетов в сильном тумане и системы службы 911, автоматически рассчитывающие оптимальные маршруты для автомобилей скорой помощи и пожарных.
Однако GPS — это больше чем система местоположения и направления. Она позволяет синхронизировать время с точностью до сотни наносекунд, а это важно для координации банковских переводов и иных финансовых транзакций. Она также поддерживает синхронизацию мобильных телефонов и в сетях передачи данных, что позволяет более эффективно делить частоты в электромагнитном спектре.
Я подробно рассказываю об этом потому, что GPS — яркий пример скрытой полезности анализа. Как это часто случается, анализ работает за кулисами повседневной жизни. В случае GPS почти все аспекты системы зависят от анализа. Подумайте о беспроводной связи между спутниками и приемниками; анализ предсказал электромагнитные волны, которые после упомянутой ранее работы Максвелла сделали возможной беспроводную связь. Без анализа не было бы ни ее, ни GPS. Аналогично атомные часы в спутниках системы GPS используют квантово-механические колебания атомов цезия; анализ лежит в основе уравнений квантовой механики и способов их решения. Без анализа не было бы атомных часов. Я мог бы продолжать: анализ лежит в основе математических методов расчета траекторий спутников и управления их движением, а также учета эйнштейновских релятивистских поправок при измерении времени, поскольку они двигаются с большой скоростью в сильном гравитационном поле, — но я надеюсь, что суть ясна. Анализ позволил создать многое из того, что привело к появлению глобальной системы позиционирования. Естественно, анализ не делал это в одиночку. Он был второстепенным, но в то же время очень важным игроком. Он входил в команду наряду с электротехникой, квантовой физикой, авиакосмической промышленностью и другими партнерами.
Давайте вернемся к молодому Галилею, сидящему в Пизанском соборе и размышляющему о колебаниях люстры. Теперь мы видим, что его мысли о маятниках и равном периоде колебаний оказали огромное влияние на ход развития цивилизации, причем не только в его, но и в нашу эпоху.
Подробнее читайте:
Строгац, С. Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны Вселенной / Стивен
Строгац ; пер. с англ. Евгения Поникарова ; [науч. ред. И. Красиков]. — Москва : Манн, Иванов
и Фербер, 2021. — 416 с.