«Время переменных. Математический анализ в безумном мире» (издательство «Альпина нон-фикшн») — новая книга Бена Орлина, переведенная на русский язык Викторией Краснянской. На этот раз автор популярного блога о математике и книги «Математика с дурацкими рисунками» рассказывает о различных аспектах математического анализа, а также использует его, чтобы поговорить о любви, риске, времени и изменчивости всего сущего. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с отрывком, который посвящен природе математического анализа, который Орлин называет «автоматическим мышлением».
Возможно, вы замечали, что в математике существует множество символов — разнообразный алфавит иксов, семерок и ■. В идеале тот, кто занимается математикой, должен знать, что эти символы означают: скрывается ли за х «пространство» или «время», указывает ли y на «годы» или «картофелины», говорит ли zzz о z3 или «храпе». Для каждого знака есть значение, но не для каждого значения есть знак.
Увы, «идеальный» — это не самое лучшее прилагательное для учебной аудитории. Скорее всего, вы обнаружите, что студенты делают заметки на страницах и зубрят все без всякого понимания, не возвращаясь к пройденному, пока процесс не доводится до автоматизма. Соедините иксы, уберите семерки, а если сомневаетесь, добавьте ■. Это все напоминает ведение бухгалтерского учета на языке, которым вы не владеете. Не важно «почему», единственный вопрос «как»: «Как я могу получить это из этого?». Здесь можно процитировать «Процесс» Кафки: «Мне кажется, тут, безусловно, есть что-то научное. Я, правда, мало что понимаю, но, наверно, тут и понимать не следует». При этом Кафка описывал тоталитарную бюрократию, а не мои уроки математики, но, как гласит народная мудрость, «что в лоб, что по лбу».
Каким же образом конкретное значение уступает чистой абстракции? Наберитесь храбрости, и я вам это покажу.
Начнем с дружелюбной физиономии прямоугольника со сторонами А и B. Его площадь является произведением этих сторон АВ.
Теперь представим, что его параметры меняются со временем, как у города, год за годом разрастающегося на север и на восток. Ширина (А) растет со скоростью А´, а длина (В) — со скоростью В´.
Вопрос: как быстро увеличивается площадь АВ?
Это математический анализ, то есть мы размышляем об отдельно взятом моменте. В это летучее мгновение ширина увеличивается на бесконечно малую величину (которую мы можем назвать dA или А´), и длина делает то же самое (соответственно, при этом получается dB или В´).
Мы можем разделить эту зону роста на три части: (1) длинная тонкая полоса справа, (2) еще одна сверху и (3) крошечный квадратик. Этой умилительной третьей частью можно пренебречь по причинам, описанным в главе X; если каждая тонкая полоска имеет толщину человеческого волоса, то квадратик имеет площадь, как у одной-единственной клетки. Мы можем исключить его из наших расчетов.
Теперь определим, насколько велики две оставшиеся зоны роста. С рисунком это очень просто: одна — произведение А´ на В, а другая — В´ на А.
Таким образом, размер зоны роста — это сумма площадей двух полосок.
Производная AB = А´В + В´А
Пока что все идет хорошо? Ну так пришло время забыть обо всем. Забудьте прямоугольник и полоски роста. Забудьте сопутствующие факторы, геометрическое значение и логическую цепочку. Забудьте, что мы с вами когда-то встречались, забудьте, что этот прямоугольник вообще существовал. На обесцвеченной поверхности вашей памяти остается только одна, последняя строка символов: (AB)´ = А´В + В´А.
Теперь применим ее наугад к тысяче различных сценариев. Применим к x sin (x), к ex cos (x) и (х + 7)10(3х – 1)9. Применим к физике, экономике, биологии и, пока Меркурий в зените, к астрологии. Применим механически и бессмысленно, как робот, который делает свою автоматическую домашнюю работу.
Эта бессмысленная манипуляция, это «перебрасывание символами» — не ошибка математического анализа. Это его особенность.
Матан — система, бюрократическое образование, формализованный свод правил. Посмотрите на само происхождение термина: английское слово calculus происходитот латинского «камешек», указывающего на те камни, которые использовались для счета на абаке. Абак — это средство для расчетов, инструмент для механизации мысли, и это роднит его с математическим анализом.
Как объясняет Владимир Арнольд, Готфрид Лейбниц старался разработать математический анализ «в виде, специально приспособленном для обучения людей, которые его совсем не понимают».
Эта фраза попадает в яблочко. Арнольд совершенно прав. В начале XVII в. перебрасывание символами было не в моде. «Символы бедны и некрасивы, но они необходимые подпорки для иллюстрации, — писал философ Томас Гоббс, — им уместно появляться на публике не более, чем позорным необходимым делам, которыми вы занимаетесь в своих комнатах». И не сказать, что Гоббс был одинок в своем брюзжании. В то время математическая традиция предпочитала ненадежным алгебраическим выводам точность геометрии.
Но в подходе Гоббса есть недостаток, на который с радостью укажет любой студент: вы должны все понимать. Это тошнотворное, скудное и жестокое дело, и очень небыстрое.
Множество математиков работало с производными и интегралами до Ньютона и Лейбница. Но они решали свои проблемы мудрыми методами для «одноразового употребления», то есть подходящими к конкретной ситуации. Идеей «математического анализа» — словосочетание, которое ввел в обиход Лейбниц, — было создание единой структуры для вычислений. Века спустя математик Карл Гаусс будет писать о таких методах: «С их помощью нельзя достичь того, чего нельзя было бы достичь без них». В трудные моменты я говорил то же самое о вилках. Но точно так же, как я продолжал пользоваться за обедом столовыми приборами, Гаусс видел значительную ценность математического анализа: «Любой, кто всесторонне овладел им, способен без всяких бессознательных проблесков гениальности, которыми никто не может управлять, решить соответствующую проблему, даже если делает это механически...»
Когда мои студенты прибегают к зазубриванию правил, они не предают дух математического анализа. Они принимают его. Даже когда они возвращаются к неверной формуле (АВ)´ = А´В´ — искушающая цепочка символов, не имеющая никакого абстрактного смысла, — они просто повторяют ошибку, которую сам Лейбниц делал в своих ранних заметках.
По своей конструкции матан — это автоматическое мышление.
К 1680 г. Лейбниц освоил бесконечно малые — одно из самых трудных и ершистых философских понятий. Почему он не добавил еще больше понятий? Почему не все понятия? Ученый задумал язык, словарь которого включал бы все возможные идеи, а грамматика воплощала бы в себе саму логику — эсперанто космоса. Универсальный алфавит (лат. characteristica universalis) интерпретировал бы все наблюдения как механические и подчиняющиеся правилам, как в арифметике. «Рассуждение, — писал Лейбниц, — будет производиться путем перемещения цифр и знаков», иначе говоря, с помощью жонглирования символами. «Если кто-то будет сомневаться в моих результатах, — продолжал он, — я должен сказать ему: «Calculemus, давайте посчитаем, сэр, и, таким образом, взяв перо и чернила, мы вскоре сумеем решить вопрос».
В мечтах Лейбница все было математическим анализом.
Увы, на самом деле это не так. Последние десятилетия своей жизни Лейбниц чах в маленьком городе Ганновере в Германии, его злобный работодатель заставлял ученого закончить генеалогическое исследование. Мораль для школьников: вовремя сдавайте свои сочинения.
Еще хуже вышло со спором о приоритете открытия математического анализа, который разгорелся у Лейбница с Ньютоном. Лейбниц опубликовал свои результаты первым, но Ньютон высказал схожую идею раньше, и общественное мнение оказалось на его стороне. Научная общественность признала Лейбница интеллектуальным вором. Как сказал математик Стивен Вольфрам, этот дележ математического анализа стал поворотной точкой:
Я пришел к осознанию того, что, когда Ньютон выиграл информационную войну против Лейбница... на кону было не только признание заслуг; это был и способ размышления о науке... У Лейбница была более широкая и философская точка зрения, он видел математический анализ не только как некий инструмент сам по себе, но как пример, который должен вдохновлять... на другие виды универсальных инструментов.
Сегодня мы можем видеть, что Лейбниц стремился в будущее. Мы видим это не только в универсальном алфавите, но и в его сочинениях, где он пытался систематизировать трудные юридические случаи; в его беспрецедентной работе по бинарной системе — математике, основанной на нулях и единицах, и в машине, которую он пытался построить в течение нескольких десятков лет — одном из первых в истории механическом калькуляторе, выполняющем четыре действия.
Лейбниц стремился к компьютерной эпохе за века до ее наступления.
Подробнее читайте:
Орлин, Б. Время переменных. Математический анализ в безумном мире / Бен Орлин ; Пер. с англ. [Виктории Краснянской]— М.: Альпина нон-фикшн, 2021. — 370 с.