Математика лежит в основе всего на свете: лотереи, рецептуры шоколадных пирогов и выборов. Обратившись к математике, можно разобраться, почему «Звезда смерти» — это одна из самых спорных конструкций в истории, а заядлые игроки очень редко выигрывают в лотерею. В книге «Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность» (издательство «Альпина нон-фикшн»), переведенной на русский Алексеем Огнёвым, преподаватель Бен Орлин с помощью понятных ситуаций и ярких примеров, а также собственных иллюстраций объясняет сложные и глубокие математические идеи. N + 1 предлагает своим читателям ознакомиться с отрывком, в котором рассказывается, почему покупка лотерейного билета почти всегда означает потерю денег, а не прибыль.
Ах, лотерейный билет. Cертификат оптимизма, казначейская облигация Министерства надежды. Зачем держаться за потрепанную однодолларовую купюру с загнутыми уголками, если можно обменять ее на непредсказуемую сумму от нуля до $50 млн?
Если для вас это звучит непривлекательно, что же, вы и все человечество будете просто вынуждены поменять свое мнение.
Должен признаться, я потратил на лотерейные билеты меньше денег за всю жизнь (семь долларов), чем на круассаны за текущий месяц (не спрашивайте сколько). Тем не менее ежегодно в лотерею играют около половины взрослых американцев. Это не та половина, о которой вы, вероятно, подумали. Люди с ежегодным доходом $90 000 играют чаще, чем те, кто зарабатывает меньше $36000. Те, у кого есть степень бакалавра, играют чаще, чем те, у кого ее нет. Больше всего денег на лотерею расходуют жители моего родного штата Массачусетс: пристанище обеспеченных, суперобразованных либералов, которые тратят на лотерейные билеты за год в среднем по $800 на человека. Играть в лотерею, как и смотреть футбол, судиться с соседями или распевать национальный гимн, — это американский вид досуга, и ему предаются по разным причинам.
Идем, составьте мне компанию в очереди за лотерейным билетом, и мы исследуем многогранную привлекательность инвестиций с шансом на коммерческий успех.
Смотрите-ка! Это Заядлый Игрок, который покупает лотерейные билеты по той же причине, по какой я покупаю круассаны: не ради пропитания, а ради удовольствия.
Возьмем для примера популярную в Массачусетсе лотерею «Приз $10 000 наличными». Гениальное название. Поставьте рядом слово «приз» и число 10 000, и вы никогда не прогадаете, о чем бы там ни шла речь дальше. К тому же иллюстрация на лотерейном билете за один доллар выглядит как фото в ночном рейв-клубе, распечатанное на цветном принтере. На обороте вы найдете следующую сложную таблицу шансов на победу.
Сколько выиграет ваш билет? Ну, пока что мы не в курсе. Может быть, $10000; может быть, пять долларов; может быть (я имею в виду «скорее всего»), ничего.
Было бы неплохо оценить выигрыш с помощью одного-единственного числа. Представьте, что мы потратили не один жалкий доллар, а миллион долларов. Таким образом, мы сбежали из толчеи на танцполе нашего мира кратковременности в тихий и мирный мир долговременности, где каждый выигрыш случится с известной заранее вероятностью. Когда мы купим миллион билетов, событие с вероятностью одна миллионная, скорее всего, произойдет один раз *. Событие с вероятностью 1 к 100 000 произойдет примерно десять раз. Событие с вероятностью 1 к 4 произойдет примерно 250000 раз (или что-то около того).
Возбужденно раскладывая наши билеты по стопкам, мы ждем, что наш выигрыш распределится примерно следующим образом:
Около 20% наших билетов оказались выигрышными. Если суммировать все деньги, инвестиции размером в миллион долларов принесли нам около $700 000… и это означает, что $300000 из нашего кармана перешли прямиком в казну штата Массачусетс.
Иными словами, каждый билет стоимостью один доллар принес нам около 70 центов.
Математики называют это число ожидаемым выигрышем ** от покупки одного билета. Я понимаю, что это забавный термин, потому что вы не ждете, что каждый билет принесет 70 центов, — точно так же вы не ждете, что в каждой семье родится 1,8 ребенка. Я предпочитаю термин средняя величина в долгосрочной перспективе: вы получите такую сумму за каждый билет, если будете играть в лотерею снова, и снова, и снова, и снова, и снова…
Разумеется, 30 центов — это меньше, чем вы потратили, но, хотя развлечение не бесплатное, Заядлый Игрок готов пойти на риск. Опросите американцев, зачем они играют в лотерею, и половина скажет: не ради денег, а ради удовольствия.
Таковы Заядлые Игроки. Поэтому, когда государство запускает новый вид лотереи, общие продажи лотерейных билетов растут . Заядлые Игроки видят в новых лотереях не альтернативные возможности инвестиций (что привело бы, соответственно, к падению продаж билетов старой лотереи), а новые развлечения, что-то вроде свежих фильмов в мультиплексе.
Что именно привлекает Заядлого Игрока? Радость победы, прилив адреналина от непредсказуемости, приятное волнение от наблюдения за развитием событий? Ну, это зависит от аппетитов конкретного Заядлого Игрока.
Я могу сказать наверняка, к чему он не стремится: к финансовой выгоде. В долгосрочной перспективе покупка лотерейного билета почти всегда означает потерю денег, а не прибыль.
Погодите… Почти всегда? Как это «почти»? Какое правительство настолько тупоумно, что продает лотерейные билеты себе в убыток?
Эти исключения возникают из общего правила, согласно которому лотереи с большим джекпотом подслащивают сделку: если никто не выигрывает джекпот на этой неделе, он пополняет призовой фонд на следующей неделе, и в итоге наибольший выигрыш увеличивается. Если это повторяется несколько раз, ожидаемый выигрыш одного билета начинает превышать его стоимость. Например, в январе 2016 года Национальная лотерея Великобритании предложила лакомый ожидаемый выигрыш более четырех фунтов стерлингов при стоимости билета два фунта. Как ни странно, такие схемы обычно стимулируют более чем достаточно продаж, чтобы оправдать затраты.
В очереди за лотерейным билетом наподобие этого вы встретите очень необычного игрока — лакомство для таких азартных орнитологов, как мы. Видите, как он чистит перышки вон там, высоко в ветвях? Это Образованный Дурак — редкостный олух, который трактует ожидаемый выигрыш, пользуясь плодами образования, как все глупые люди: путает частичную истину и универсальную мудрость.
Ожидаемый выигрыш дистиллирует многогранность покупки лотерейного билета, со всеми возможными призами и вероятностями, до одного обобщающего числа. Это мощный ход. Кроме того, это упрощение.
Возьмем для примера два билета стоимостью один доллар.
Потратьте $10 млн на билеты категории A, и вы получите $9 млн, то есть ожидаемый убыток при покупке каждого билета составляет 10 центов. В то же время $10 млн, потраченных на билеты категории B, принесут вам $11 млн и на сей раз ожидаемая прибыль от каждого билета составляет 10 центов. Таким образом, для тех, кто влюблен в ожидаемый выигрыш, вторая категория билетов кажется настоящим золотом, а первая — кошачьим ***.
И все же… принесут ли мне $11 млн больше счастья, чем $9 млн? Обе суммы во много раз превышают мой текущий счет в банке. Психологическая разница незначительна. Так зачем же называть одно мошенничеством, а другое отличной сделкой?
Если упростить: представьте, что Билл Гейтс предлагает вам пари. За один доллар вы с шансом 1 к 1 000 000 000 получаете $10 млрд. Посчитав ожидаемый выигрыш, вы пускаете слюни: миллиард, потраченный на лотерейные билеты, обеспечит вам выигрыш $10 млрд. Невозможно удержаться!
Но даже в этом случае, Образованный Дурак, я прошу вас удержаться. Вы не можете позволить себе эту игру. Наскребите впечатляющий миллион долларов, и все равно богатый человек Гейтс с вероятностью 99% станет на один миллион богаче, а вы на один миллион беднее. Ожидаемый выигрыш — это средняя величина в долгосрочной перспективе, и, отозвавшись на предложение Билла Гейтса, вы исчерпаете свои финансы раньше, чем эта долгосрочная перспектива наступит.
То же самое верно по отношению к большинству лотерей. Возможно, вы окончательно разуверитесь в ожидаемом выигрыше, ознакомившись с такими абстрактными возможностями однодолларового лотерейного билета:
Если вы купите десять билетов, вы, скорее всего, выиграете один доллар. В общем-то, ужасно: 10 центов за каждый билет. Если вы купите 100 билетов, вы, скорее всего, выиграете $20. (Десять самых маленьких призов и один приз в $10.) Чуть менее ужасно: 20 центов за билет.
Если вы купите 1000 билетов, то, скорее всего, вы выиграете $300. (Сто призов по одному доллару, десять призов по $10 и один приз в $100.) Вы получите по 30 центов с каждого билета.
Продолжаем. Чем больше билетов вы купите, тем больший выигрыш вы можете ожидать. Если вы каким-то образом умудритесь купить миллиард билетов, скорее всего, на каждый билет вы выиграете $1,2. Квадриллион билетов? Еще лучше: $1,5 на билет. Действительно, чем больше у вас билетов, тем больше будет ваша прибыль от каждого билета. Если вы каким-то образом сможете инвестировать гугол долларов, вы получите десять гуголов взамен. Любая желаемая выручка — надо просто накупить достаточное количество билетов. Ожидаемая прибыль от одного билета бесконечна.
Но даже если вы доверяете правительству, затеявшему такую лотерею, вы никогда не сможете позволить себе купить достаточное количество билетов, чтобы увидеть хотя бы отблеск бесконечной прибыли. Идите и потратьте всю свою жизнь на покупку билетов, Образованный Дурак. С ошеломляющей вероятностью вас ждет банкротство.
Мы, люди, — создания кратковременные. Лучше оставим бессмертным среднюю величину в долгосрочной перспективе.
Подробнее читайте:
Орлин, Б. Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность / Бен Орлин ; Пер. с англ. [Алексея Огнёва] — М.: Альпина нон-фикшн, 2020. — 460 с.