42 наконец-то разложили на три куба

Число 42 известно не только тем, что является ответом на «Главный вопрос жизни, вселенной и всего такого», но также тем, что было последним натуральным числом меньше 100, которое не удавалось разложить в сумму трех кубов. Теперь этот вопрос решен, так как математики Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд нашли нужное выражение: 42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³, решение опубликовано на странице одного из математиков (в коде страницы есть ссылки на его работы, а с сайта факультета математики на личную страницу ведет прямая ссылка).

Уравнения, неизвестными в которых могут быть только целые числа, в математике называют диофантовыми — по имени древнегреческого мыслителя, занимавшегося ими. Несмотря на кажущуюся простоту и доступность для понимания даже ученику средней школы, диофантовы уравнения могут быть исключительно трудными для решения.

Самым известным диофантовым уравнением, безусловно, является Великая теорема Ферма xⁿ+yⁿ = zⁿ для целых n>2. Это утверждение доказал в 1994 году Эндрю Уайлс спустя более 350 лет после оригинальной формулировки. Доказательство использует методы отнюдь не элементарной математики и занимает свыше 100 страниц.

Одной из открытых задач в области диофантовых уравнений является разложение натуральных чисел в сумму трех кубов целых, то есть решение уравнение вида k = x³+y³+z³ для разных k. Известно, что для k, дающих при делении на 9 в остатке 4 или 5, подобных разложений быть не может, поэтому они исключаются из рассмотрения. Гипотезой является то, что все другие k можно разложить в такую сумму.

Интересной особенностью данной задачи является чередование очень простых решений и чрезвычайно сложных. Например, для k = 29 существует очевидное решение x=3, y=z=1, в то время как для k=30 решение достигается лишь при гигантских значениях x = 3982933876681, y = -636600549515 и z = -3977505554546.

В течение второй половины XX века разложения в сумму трех кубов были найдены почти для всех искомых чисел меньше 100. В частности, в 60-е были найдены разложения для 87, 96, 91 и 80, затем для 39, 75 и 84, потом для 30, 52 и 74. К 2019 году оставалось лишь два числа: 33 и 42. Для 33 решение было найдено Эндрю Букером (Andrew Booker) из Бристольского университета весной этого года.

Теперь вместе с Эндрю Сазерлендом (Andrew Sutherland) из Массачусетского технологического института Букер нашел решение и для числа 42. Его разложение выглядит следующим образом: 42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³. Проверить правильность этого выражения с помощью обычных калькуляторов может быть затруднительно, но можно воспользоваться вычислениями онлайн с помощью WolframAlpha.

Теперь наименьшим числом, не разложенным на три куба, стало 114. Среди чисел меньших тысячи таких чисел, кстати, тоже остается не очень много: 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 и 975.

Доказательство Великой теоремы Ферма весьма поучительно — мы рассказывали о некоторых связанных с ним интересных фактах в материале «Кому поля не жмут».

Тимур Кешелава