Квантовый предел скорости оказался не таким уж квантовым
Японские физики-теоретики показали, что «квантовый предел скорости», или принцип неопределенности для времени и энергии, в действительности возникает не только в квантовой механике, но и во всех системах, эволюция которых описывается эрмитовым оператором. В том числе в классической системе, которая описывается оператором Лиувилля. Статья опубликована в Physical Review Letters, препринт работы выложен на сайте arXiv.org.
В классической механике координата и импульс частицы представляют собой обычные числа — неважно, в каком порядке вы будете их умножать, результат будет одинаковым. Более строго можно сказать, что координата и импульс коммутируют. Однако в квантовой механике этим величинам отвечают не числа, а операторы, и коммутатор операторов координаты и импульса отличен от нуля. Вместо этого он равен пусть и очень маленькому, но конечному числу (а именно, [x̂, p̂] = iħ). Некоммутативность квантовой механики — одно из самых важных ее свойств. В частности, именно из некоммутативности следует известный принцип неопределенности Гейзенберга: Δx∙Δp ≥ ½|<[x̂, p̂]>| = ħ/2 (здесь треугольные скобки означают усреднение системы по определенному состоянию). Вообще говоря, аналогичное соотношение выполняется не только для операторов x̂ и p̂, но и для любых некоммутирующих операторов.
Наряду с принципом неопределенности Гейзенберга в учебниках часто приводят аналогичное соотношение для энергии и времени: ΔE∙Δt ≥ ħ/2. Иногда его называют «принципом неопределенности для энергии и времени» или «квантовым пределом скорости» (Quantum Speed Limit, QSL). Слово «скорость» здесь появляется из-за ограничений на время эволюции системы Δt ≥ ħ/(2ΔE). Тем не менее, к этому соотношению следует относиться с осторожностью, поскольку не существует оператора, представляющего время и аналогичного оператору координаты. Более того, несмотря на то, что соотношение неопределенности для энергии и времени считается чисто квантовым эффектом и часто возникает в том же контексте, что и принцип Гейзенберга, в действительности эти два соотношения связаны только косвенно.
Физики-теоретики Манака Окуяму (Manaka Okuyama) и Масаюки Озэки (Masayuki Ohzeki) решили выяснить, действительно ли это соотношение чисто квантовое и может ли его существование определяться не некоммутативностью квантовой механики, а чем-то другим. В этом случае аналогичное соотношение будет существовать даже в классической механике, а также в других системах, которые описываются более сложными уравнениями.
В данной статье ученые показали, что существование «квантового предела скорости» обусловлено свойствами гильбертова пространства, а не коммутативностью. Для этого они рассмотрели обычную, классическую систему n частиц, которая описывается не зависящим от времени классическим гамильтонианом. Эволюция такой системы определяется функцией распределения в фазовом пространстве ρ(t) и эрмитовым оператором Лиувилля L̂, который в некотором смысле аналогичен гамильтониану из квантовой механики. Раскладывая функцию распределения по собственным значениям оператора Лиувилля и рассматривая проекцию конечного распределения ρ(t) на начальное ρ(0), а также используя соотношение cos(t) ≥ 1 − t^2/2, физики получили соотношение, напоминающее квантовый предел скорости (авторы назвали его «классический предел скорости», Classical Speed Limit, CSL):
Затем ученые проверили, к какому ограничению приводит выведенное ими соотношение в случае простейшей системы — одномерного гармонического осциллятора. Оказалось, что в пределе, когда в потенциале осциллятора находится только одна частица, ограничение на время исчезает. Таким образом, авторы заключают, что существование «классического предела скорости» обусловлено большим числом частиц системы, которое обеспечивает «перекрывание» распределений в начальный и конечный моменты времени.
Кроме того, физики рассмотрели еще одну систему, которая описывается эрмитовым оператором — броуновское движение частиц в воде, которое определяется уравнением Фоккера-Планка. В этом случае ученые снова вывели ограничения для времени эволюции системы, раскладывая функцию распределения по собственным состояниям оператора и используя неравенство Йенсена. Наконец, такое же ограничение они вывели для основного кинетического уравнения с дополнительным условием детального равновесия (detailed balance condition).
Таким образом, авторы заключают, что существование «предела скорости» является общим свойством всех систем, эволюция которых описывается эрмитовым гамильтонианом, и не связано с коммутативностью операторов.
Соотношение неопределенности Гейзенберга играет важную роль в экспериментах, поскольку оно приводит к принципиально неустранимой погрешности измерений. О том, как ученые «обхитрили» этот принцип, чтобы поймать гравитационные волны, можно прочитать в нашем материале «Точилка для квантового карандаша».
Дмитрий Трунин
Какую физику несут на себе маркерные доски из игры Control
Мнение редакции может не совпадать с мнением автора
Есть такая вещь — профдеформация. В моем случае она приняла довольно необычную форму. В марте у меня вышел материал, в котором я разобрал содержание маркерных досок в интерьерах института Black Mesa из ремейка первой части Half-Life. Досок в игре больше тридцати, на их исследование у меня ушло довольно много времени и сил. С тех пор я замечаю доски везде — и в мире реальном, и в мире виртуальном — и начинаю их внимательно изучать. Например, когда у меня случилась командировка в новосибирский Институт ядерной физики имени Будкера, я пристально рассматривал местные доски, вместо того чтобы слушать о том, как работает тамошний электрон-позитронный коллайдер. А вернувшись домой, я поставил Control. Этот шутер от третьего лица, разработанный финской студией Remedy Entertainment, рассказывает историю простой (но на самом деле не совсем) девушки Джесси, которая внезапно становится директором Федерального Бюро Контроля — секретной правительственной организации, которая занимается поиском, изучением и контролем за сверхъестественными предметами и явлениями. Новая должность открывает для нее связи с неким потусторонним управляющим органом под названием Совет, о котором нам мало что известно. Его символизирует черная перевернутая пирамида, с которой Джесси регулярно будет взаимодействовать. Игра вдохновлена коллективным творчеством людей из проекта SCP Foundation, который возник в темных глубинах имиджбордов лет 15 назад (а то и больше) и продолжает пополняться новыми записями по сей день. В «Контроле» значительную часть персонала Бюро составляют ученые. А где ученые, там должны быть лаборатории, а внутри, естественно, должны быть доски, на которых что-то написано. Лаборатории и доски по мере прохождения игры ты действительно встречаешь здесь и там. Правда, есть несколько странностей. Львиная доля непустых досок посвящена физике или математике. Причем физика там встречается весьма современная — это мы с вами еще увидим. Вместе с тем, в локациях почти невозможно найти хоть какой-нибудь физический прибор, повсюду только камеры да антенны. Более того, игровая вселенная дает технологиям в Бюро ограничение сверху: приборы и гаджеты не должны быть совершеннее, чем оборудование, бывшее в ходу в 1970-е годы. Это якобы связано с особенностями Старейшего дома — здания с паранормальными свойствами, в котором расположено Бюро. Странным также кажется отсутствие биологических досок, хотя этому аспекту происходящего уделяется в игре довольно много времени. Все маркерные доски в Control можно разбить на три группы: пустые доски, доски с ненаучным — сюжетным — содержанием, доски с физикой/математикой. Вторая категория интересна тем, что каждая такая доска есть только в одном экземпляре и все они содержательно связаны с местами, в которых установлены. Их чтение позволяет глубже проникнуть в сюжет и законы игрового мира. Научные же доски, напротив, повторяются из локации в локацию, а также не имеют отношения к тому, в каком месте стоят. По сути, как и пустые доски, это просто элементы интерьера. Их всего десять. Как я искал доски Поначалу я фиксировал местоположение в игре каждой уникальной доски с научным содержанием, но в конечном итоге просто обратился к ресурсам игры, распаковав их с помощью вот этой программы. Именно эти текстуры, конвертированные в графический формат, представлены ниже. Помимо этого, я пытался взять комментарий у людей, имевших отношение к созданию игры. Remedy мне не ответили, зато откликнулся один из сотрудников российской студии Blacksteinn, который участвовал в разработке в статусе Texture Artist. Увы, именно досками он не занимался и помочь мне не смог. В конечном итоге цепочка оборвалась на украинской студии Room 8, которые также работали над игрой. На момент написания этого текста ответ от них я так и не получил. Поэтому высококачественных исходников досок, в отличие от прошлого раза, добыть не удалось. Но качество изображений хотелось все же улучшить. Поскольку я профан в этом деле, я напрямую спросил у ChatGPT, на каком сайте можно бесплатно сделать апскейл изображений низкого разрешения с рукописным текстом. Бот посоветовал мне ресурс, который использует программный пакет с замечательным названием waifu2x. «Он был изначально разработан для увеличения разрешения аниме-изображений, но также хорошо работает с рукописными текстами», — написал мне бот. Не соврал. Чтобы увидеть улучшенное изображение, нажмите на лупу во время просмотра картинок. Доски Эта доска состоит из двух частей. В верхней части приведены параметры магнитооптического и зеемановского замедлителей, используемых в ловушках для атомов рубидия. В этом легко убедиться, если открыть диссертацию французского физика Лукаса Бегина, откуда они были переписаны от руки (см страницу 45). Лукасу я написал письмо, но ответа так и не получил. Отличаются лишь подписи к параметрам: «MOT parameters» и «Zeeman parameters» заменены на «control parameters» и «triangle parameters». Эти термины не имеют отношения к атомным ловушкам, их скорее можно встретить в работах по численным вычислениям. Впрочем, здесь едва ли имеет смысл копать так глубоко: слово control — одно из самых главных в словаре игры, а triangle может быть отсылкой к черной перевернутой пирамиде. В нижней части изображен рисунок к хрестоматийной задаче механики о скольжении бруска по наклонной плоскости. Его можно встретить практически в любом пособии или учебнике. Самая первая схема иллюстрирует перемещение материальной точки в декартовой системе координат из точки e в точку a по прямой; приведены формулы для векторов скорости и ускорения в дифференциальном виде. Это все простая механика, а точнее — кинематика. Все остальное не имеет очевидного или однозначного отношения к физике. Кое-что, однако, можно сказать про список имен. Это сотрудники Remedy, которые делали дизайн уровней. Я списался с, как мне показалось, руководителем этой команды, Масао Огино, но он ответил, что текстурами занимались другие люди — кто именно, он не вспомнил. Для этой доски авторы перерисовали картинку из вот этой статьи в Communications Physics. Эта статья также посвящена охлаждению атомов рубидия, однако она напрямую не связана с диссертацией выше, а их авторы не работали вместе. В этом исследовании физики изучали наведенный светом магнетизм в атомах, запертых в узлах оптической решетки. Авторы статьи ответили, что не знали об использовании их работы в игре, но в целом были обрадованы этим фактом — особенно те, что помоложе, — а руководитель группы даже похвастался моей находкой у себя в твиттере. Слева приведена школьная таблица производных от обратных тригонометрических функций. В англоязычных источниках их часто обозначают через минус первую степень. Система выражений справа имеет более специфичную природу. Это формула для функции оптических потерь звездной короны в зависимости от ее температуры, взятая, по-видимому, отсюда. Зависимость выглядит довольно причудливой; на соответствующий график можно посмотреть здесь. Картинка снизу выглядит как иллюстрация к простой кинематической задаче. Ее источник мне найти не удалось. Еще один образец научной дизайн-эклектики. Слева мы видим рисунок, который встречается в уже знакомой нам диссертации Лукаса Бегина, — это схема фиксации атомов в луче света. Справа — выражения и график, описывающие пульсацию в выпрямителе напряжения. Целиком этот кусок можно найти на сайте с вопросами для инженеров-электриков, а также в отрывке какого-то учебника (какого конкретно — мне выяснить не удалось). Снизу — тоже электрические цепи, но уже более простого уровня. Удивительно, где я нашел источник этого изображения — это кадр из YouTube-видео (на 65 секунде), на котором разбирается школьная задача о последовательном и параллельном соединении конденсаторов. Я не сразу нашел источник этого изображения, но все-таки выяснил, что изначально оно было создано разработчиками или дизайнерами Ziteboard — кроссплатформенной интернет-доски. С помощью математических выкладок они демонстрировали работоспособность их детища. Человек с ником Skalkaz выложил некоторые из них в Викимедию, откуда, по видимому, их взяли работавшие над Control люди (ниже будет еще одна такая доска). Этим человеком оказался один из членов команды Ziteboard (вероятно, даже руководитель, кстати, физик по образованию). Он очень удивился использованию своих артов и был польщен. Skalkaz обещал, что найдет время, чтобы пройти игру и найти в ней свои доски. Формулы сверху слева описывают окислительно-восстановительный процесс, в котором медь растворяется, а серебро, наоборот, выпадает в осадок. Если захочется подробнее почитать об этом, источник вот в этом онлайн-справочнике. Ниже — школьные формулы для физики волн с чьей-то презентации, есть тут. Справа виднеются формулы для верхней (UCL) и нижней (LCL) контрольных границ. Эти величины вводят в теории управления различными процессами. Там они нужны, чтобы контролировать параметры этих самых процессов (смотрите, опять control). В таком виде формулы встречаются во множестве мест, например здесь. Последний рисунок — иллюстрация к дифракции на щели. Его можно найти в учебном пособии Бостонского университета. Слева приведена таблица некоторых ядерных превращений и количество энергии, которая при этом образуется. Целиком таблицу можно увидеть в справочнике университета штата Джорджия (нужен VPN). В правой части иллюстрация к явлению конструктивной интерференции волн. В самом начале нас встречает выражение для гамильтониана множества взаимодействующих частиц в координатном представлении, записанное в общей форме. В таком виде его можно встретить во множестве учебников по квантовой механике, например, здесь. Ниже мы видим стационарное уравнение Шрёдингера для массивной частицы в некотором потенциале. Ошибка в фамилии великого физика (Shrodinger вместо Schrödinger) существенно сужает поиск источника: формула взята либо отсюда, либо из этого видео. Наконец, справа размещено очень громоздкое дифференциальное уравнение второго порядка. Его источник найти не удалось, но, судя по обозначениям, это часть какой-то задачи из релятивистской квантовой механики электрона — похожие обозначения можно найти тут. Это вторая доска, позаимствованная у Ziteboard. Ее можно найти на Викимедии, погуглив вместе слова «typical», «mathematical» и «whiteboard». Подозреваю, что именно таким путем эта и шестая доски попали в игру. Комментируя эту гипотезу, Skalkaz отметил, что много лет назад он выбирал такое название для файлов из SEO-соображений и теперь рад, что не прогадал. Помимо обычной перестановки формул и графиков авторы текстуры сделали еще одно небольшое изменение. Обратите внимание на левый верхний угол: в отрывке, посвященному формированию дождя, оригинальная гора была заменена на прямоугольную конструкцию с синей точкой внизу. Осмелюсь предположить, что конструкция — это тот самый Старейший дом, прототипом которого стало здание по адресу Нью-Йорк, Томас-Стрит, 33. В этом случае синяя точка может быть Розовым Фламинго — предметом с паранормальными свойствами, который способен вызывать дождь. Что-то еще? Да. Кроме маркерных досок в игре можно найти классические меловые. Все три — уникальные и встречаются только раз. Одна из них имеет сюжетное наполнение, другая содержит шифр, разгадав который, первые три игрока могли получить бесплатную цифровую копию музыкального альбома группы «Socks and Ballerinas». Третья же доска имеет несколько более глубокое научное содержание. На ней изображена одна из реакций синтеза метамфетамина. Надпись «BLUE» подсказывает, что это отсылка к сериалу Breaking Bad, герои которого занимались изготовлением голубого метамфетамина. Эту пасхалку подтверждает и антураж лаборатории, в которой висит доска. Кроме досок, кое-какую научную информацию можно найти на разнообразных тетрадных листках и блокнотах. Здесь по большей части электротехника, связанная с записью на магнитные ленты и передачей аналоговых сигналов. На втором листке внизу можно заметить шкалу звуковых волн. Это, кстати, единственная физика, хоть как-то связанная с сюжетом игры. Согласно ему, в Старейший дом проникают враждебные силы, имеющие акустическую природу — как ни странно, надписи на белых маркерных досках практически ничего нам об этом не говорят. Последнее, что есть научного в текстурах игры, это небольшие блокнотные зарисовки. Что в итоге? Несмотря на свою схожесть, маркерные доски в Control и Black Mesa сильно отличаются по своей роли и организованности. Здесь они никак не связаны ни с сюжетом, ни с помещением, в котором их может найти Джесси. Они гораздо более эклектичны и собирают порой физику и математику совсем разных областей и уровней. Наконец, они не уникальны и повторяются. Причина, по которой все они имеют физико-математическую направленность, остается загадкой. Любопытно также, почему сложность содержания варьируется от школьных задач до фундаментальной квантовой теории. Вполне вероятно, что это эхо работы над предыдущей игрой Remedy — Quantum Break, где физике уделено гораздо больше сюжетного времени. Надеюсь, в будущем я найду время рассказать вам и про этот шутер.
