Теория хаоса

Можно ли прогнозировать хаотическое движение элементов какой-либо системы? От чего зависит хаотическая динамика? Может ли, наконец, взмах крыла бабочки вызвать торнадо? Некоторые важные ответы на эти и другие вопросы нашел американский метеоролог Эдвард Лоренц, (невольный) автор термина «эффект бабочки» и создатель «странного аттрактора». Рассказываем об этом в первом материале, посвященном самым интересным дифференциальным уравнениям.

В 1972 году профессор метеорологии из Массачусетского технологического института Эдвард Лоренц собирался выступить на конференции, но в пылу работы не успел отправить тему своей лекции. Организатор, спешивший разослать приглашения, выбрал заголовок за него: «Предсказуемость: может ли взмах крыла бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?» Так и появился термин «эффект бабочки», известный сегодня всему миру.

Эдвард Лоренц родился в 1917 году в небольшом городке в штате Коннектикут. Изучать атмосферные явления он решил еще в детстве, испытав потрясение от того, с какой легкостью солнечная погода может смениться бурей с громом и молниями.

Путь к исполнению мечты вышел долгим: магистратура в Гарварде, работа метеорологом в авиационном подразделении Армии США, защита диссертации в послевоенный период, наконец, должность научного сотрудника и, позже, профессора в MIT.

В своем выступлении Лоренц выделил несколько ключевых идей:

• Если взмах крыла бабочки может вызвать торнадо, то точно так же на это способны все предыдущие и будущие взмахи, равно как и взмахи остальных миллионов бабочек, не говоря уже об активности бесчисленного населения нашей планеты.
• Если взмах крыла бабочки способен вызывать торнадо, то в равной степени этот же взмах может его предотвратить.

Взмах крыла бабочки в данном контексте должен восприниматься как маленькое изменение начальных условий исследуемой системы, способное как вызвать торнадо, так и изменить его траекторию или вообще стать причиной его затухания.

В отличие от эффекта домино, где конкретное (обычно незначительное) действие приводит к конкретному (обычно значительному) результату, причем происходит это однозначно, взмах бабочки может не иметь никакого влияния на поведение торнадо.

Система Лоренца

Лоренц изучал конвекцию (теплообмен, возникающий за счет движения молекул жидкости или газа) в атмосфере Земли. Для описания подобных физических процессов часто пользуются моделью, которая включает в себя уравнения Навье-Стокса, описывающие движение вязкой ньютоновской жидкости (за исключением некоторых частных случаев, их решения в общем виде на данный момент неизвестны):

• Уравнение движения в векторном виде:

• Уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры в пространстве с течением времени:

• Уравнение непрерывности, которое, по своей сути, описывает принцип сохранения массы чего-либо:

В оригинале эти три составляющие дают следующую систему:

Мы не будем углубляться в детальное объяснение всего вышеизложенного. Достаточно лишь понимать, что это довольно сложная модель, и Лоренцу в результате многостраничных выкладок удалось построить ее упрощение:

Здесь переменная с точкой сверху означает ее производную по времени. Более подробно:

• x отвечает за интенсивность конвекции;
• y отображает разность между температурами входящих и нисходящих потоков;
• z характеризует отклонение вертикального температурного профиля от линейной зависимости;
• σ > 1 — число Прандтля (критерий подобия тепловых процессов в жидкостях и газах);
• ρ > 0 — число Рэлея (отображает поведение жидкости под воздействием градиента температуры);
• β > 0 — число, отражающее геометрию конвективной ячейки.

С помощью этой системы уравнений можно рассчитать, как будет вести себя текучая среда, которую равномерно разогревают снизу и охлаждают сверху. Так, как это происходит с воздушными потоками в атмосфере. В частности, она позволяет понять, к какому результату приведет даже небольшое изменение исходных параметров.

Хаотическое движение

Перед тем как приступить к непосредственному анализу полученной системы, рассмотрим некоторые комбинации траекторий. Для наглядности, воспользуемся теми же значениями параметров, что и сам Лоренц: σ = 10, ρ = 28, β = 8/3.

Изобразим движение двух точек, расстояние между которыми изначально невелико:

• P₀ = (0, 1, 1)
• P₁ = (0, 1, 1,01)

Довольно интересный результат! Поначалу траектории почти неразличимы, потом они отклоняются совсем ненамного, после чего разница становится уже значительной.

Попробуем еще раз, однако теперь возьмем точки на значительном отдалении друг от друга:

• P₀ = (−25, 20, −15)
• P₁ = (−15, 40, 15)

Даже несмотря на подобную разницу начальных условий, траектории попадают на фигуру, которую впоследствии не покидают. Очень странно, их будто что-то притягивает...

Странный аттрактор Лоренца

Действительно, эта фигура так и называется — странный аттрактор Лоренца (от английского attract — «притягивать»).

Формальное математическое определение звучит так: аттрактор — такое подмножество фазового пространства, что все траектории, стартующие не слишком далеко от него, стремятся к нему с течением времени. (Это одно из возможных определений понятия аттрактора, существуют и другие, не эквивалентные данному.)

Слово же «странный» здесь выступает в таком ключе: аттрактор как множество не представим в виде кривой или поверхности, он имеет более сложную, фрактальную структуру. Траектории аттрактора не замыкаются, а малые отклонения постоянно накапливаются, причем экспоненциально.

Сказанное выше можно проиллюстрировать так: две траектории, выпущенные из близких точек, со временем разбегаются достаточно далеко. Причем, чтобы отдалить момент разбегания, например, на одну секунду, нужно уменьшить расстояние между начальными точками, скажем, вдвое. А чтобы на две секунды — вчетверо. А на три — в восемь раз, и так далее.

Это означает, что, даже используя мощный компьютер, мы не можем просчитать траекторию, проходящую вблизи аттрактора, с разумной точностью на протяжении длительного промежутка времени. На каждом шаге вычислений неизбежно вносятся ошибки (из-за округления чисел и погрешностей численных методов), которые быстро накапливаются и приводят к тому, что найденная траектория сильно отличается от настоящей.

Такое искажение невозможно исправить, просто увеличивая мощность компьютера. Подобное явление называется «динамическим хаосом».

Ниже представлена модель странного аттрактора, с которой можно поэкспериментировать, меняя входящие значения. Для желающих более подробно изучить математическую сторону припасен еще один раздел сразу после модели.

Вы можете покрутить модель или увеличить/уменьшить ее масштаб (с помощью кнопок мыши на десктопе или пальцами на экране смартфона). Значение бегунков сверху вниз:

• значение параметра σ;
• значение параметра ρ;
• значение параметра β;
• плотность траекторий.

Оранжевые сферы — точки, движущиеся согласно системе Лоренца. Соответственно, синие линии — траектории этих точек.

Немного математики

Система Лоренца обладает несколькими замечательными свойствами:

• Правая часть системы не имеет свободных членов, то есть она однородна.
• Если тройка (x, y, z) является решением, то и (-x, -y, z) также подходит — система обладает симметрией.

• Все траектории системы ограничены некоторым предельным множеством в силу отрицательности дивергенции векторного поля:

Иными словами, поток сжимает объем фазового пространства — это называется диссипативной системой.

Система Лоренца обладает точками равновесия, причем одна из них очевидна — E₀ = (0, 0, 0). Попробуем найти другие:

В предположении, что x ≠ 0 (иначе решением будет (0, 0, 0)) и ρ ≥ 1, получим:

Таким образом, мы получили еще две точки равновесия при x ≠ 0, ρ ≥ 1:

Исследуем эти точки на устойчивость при помощи якобиана:

Начнем с точки E₀ = (0, 0, 0):

Подкоренное выражение больше нуля, поэтому все собственные значения являются вещественными.

• при ρ < 1 корни отрицательные — устойчивый узел;
• при ρ = 1 существует нулевой корень — точка бифуркации;
• при ρ > 1 существует положительный корень — неустойчивое седло.

Для оставшихся двух точек мы не будем подробно углубляться в выкладки, чтобы сохранить простоту восприятия.

Оказывается, что они либо одновременно устойчивы, либо одновременно неустойчивы. Асимптотическая устойчивость имеет место при справедливости одного из следующих условий:

Хаос по определению

Детерминизм зачастую приравнивался к предсказуемости, но Лоренцу удалось показать, что детерминизм способен дать лишь краткосрочное предсказание поведения системы, тогда как в долгосрочной перспективе последствия могут быть непредсказуемы. Именно это и означает термин «хаос».

Однако не стоит путать хаос с хаотичностью — аттрактор Лоренца яркий тому пример, ведь все траектории так или иначе ограничены и не покидают определенное множество.

А что же погода? Работа Лоренца привела к усовершенствованию систем, используемых для составления ее прогнозов:

• на метеостанциях стали собирать значительно больше данных;
• для вычислений в симуляциях моделей начали использоваться методы, позволяющие добиться большей точности;
• метеорологи, проводящие эксперименты, осознали важность чувствительности системы к начальным условиям — они запускают большое количество симуляций, входные данные для которых обладают едва заметной разницей, и таким образом явление, происходящее в большинстве случаев, «признается» наиболее вероятным.

Несмотря на кажущуюся простоту одноименной системы, Лоренцу удалось изменить взгляды многих математиков и физиков на привычные им вещи и стать основоположником новой ветви теории хаоса.

Лев Хорошанский