Энтропию системы связали со степенью сжатия информации

Физики из Университета Тель-Авива разработали метод, с помощью которого можно быстро и точно оценить энтропию системы, не прибегая к дополнительным соображениям. Для этого исследователи отображали систему в одномерную строку, рассчитывали степень, до которой ее можно сжать без потерь, и отображали полученное значение в энтропию. На пяти модельных примерах, в которых энтропию можно рассчитать точно, погрешность алгоритма не превышала нескольких процентов. Кроме того, ученые показали, что с помощью предложенного алгоритма можно решать задачу фолдинга белков. Статья опубликована в Physical Review Letters.

Чтобы ухватить основные термодинамические свойства системы, достаточно знать две функции — энтропию и энтальпию системы. Грубо говоря, энтропия измеряет упорядоченность элементов системы, а энтальпия — энергию, которая необходима для поддержания ее структуры. Чтобы оценить энтальпию, достаточно знать силу взаимодействия между компонентами системы, поэтому с вычислением этой функции обычно проблем не возникает. В то же время, для вычисления энтропии необходимо найти вероятности, с которыми реализуются все возможные микросостояния системы (например, различные способы сворачивания белка). С увеличением размера системы сложность этой задачи быстро растет, и для больших систем ее не могут решить даже современные суперкомпьютеры. Чтобы оценить свойства таких систем, ученым приходится идти на ухищрения.

В частности, один из способов оценить энтропию сложной системы основан на использовании некоторых априорных знаний и предположений — например, эмпирических данных, накопленных в экспериментах с похожими системами. Это позволяет «урезать» пространство, которое нужно смоделировать компьютеру. К сожалению, для каждой задачи способ «урезания» разный. Другие алгоритмы полагаются на методы, которые оценивают распределение работы в ходе вычисления или рассматривают отношения между различными областями фазового пространства. Впрочем, в этих методах также нельзя выделить явного лидера, и во многих случаях эффективность их работы также сильно зависит от поставленной задачи.

Группа исследователей под руководством Рой Бека (Roy Beck) разработала алгоритм, который довольно точно оценивает асимптотическую энтропию произвольной системы, но требует сравнительно мало вычислений. Для этого ученые заметили, что энтропия системы пропорциональна степени, до которой можно без потерь сжать строку символов, полностью описывающую заданную конфигурацию. Грубо говоря, чем больше энтропия системы, тем сложнее в ней выделить какие-либо закономерности; если же таких закономерностей нет, «ужать» информацию о системе без потерь невозможно. Осталось придумать, как корректно отобразить в строку систему, которая в общем случае описывается большим числом непрерывных степеней свободы.

Чтобы построить такое отображение, ученые придерживались следующей последовательности действий. Сначала исследователи выделяли релевантные степени свободы системы. Например, при вычислении конфигурационной энтропии ученые не учитывали вращения и трансляции системы. Для упрощения расчетов каждую непрерывную координату (например, угол) ученые заменяли приближенной дискретно изменяющейся координатой (так называемое крупнозернистое моделирование). Затем физики отображали многомерное пространство в одномерное с помощью кривой Гильберта. Это позволяло сохранить корреляции между частями системы.

После этого полученный одномерный массив чисел исследователи сжимали без потерь с помощью алгоритма Лемпеля — Зива — Велча, реализованного в программе 7-Zip. Если кратко, то этот алгоритм идет вдоль цепочки символов и ищет повторяющиеся короткие отрезки, а затем заменяет их указателями на места, в которых он впервые столкнулся с такими отрезками. Наконец, ученые рассчитывали степень сжатия массива и отображали ее в энтропию системы. В качестве первого приближения ученые использовали линейную функцию, в котором коэффициентом пропорциональности служит число степеней свободы, умноженное на логарифм от числа переменных, необходимых для описания каждой степени свободы по отдельности. Справедливость этого приближения ученые доказали на конкретных примерах.

Для проверки предложенного метода физики рассмотрели пять систем, для которых энтропию можно рассчитать аналитически. Во-первых, ученые нашли энтропию четырехуровневой системы при разной температуре. Во-вторых, физики рассмотрели двумерную модель Изинга на квадратной решетке, которая описывала ферромагнетик или фрустрированный антиферромагнетик. В-третьих, исследователи повторили расчеты для модели Изинга на треугольной решетке. Наконец, ученые оценили энтропию цепочки из N звеньев, конец и начало которой разнесены на фиксированное расстояние. Во всех этих случаях полученная энтропия отличалась от точного значения всего на несколько процентов (не считая постоянного сдвига).

Наконец, ученые, вдохновленные успехами алгоритма на модельных примерах, попытались решить задачу фолдинга белка (чтобы узнать, как свернется белок, нужно найти конфигурацию с наименьшей конфигурационной энтропией). В качестве примера физики рассмотрели C-концевой участок виллина. С помощью предложенного алгоритма исследователи построили h,s-диаграмму (enthalpy-entropy population diagram), которая позволяла отличить свернутые и развернутые состояния с точностью около 95 процентов. Ученые подчеркивают, что для оценки «свернутости» им не пришлось использовать какие-то дополнительные соображения о строении белка.

Интересно, что препринт статьи авторы выложили еще в сентябре 2017 года, а в журнал отправили в мае 2018. Таким образом, статья рецензировалась почти полтора года. Впрочем, процитировали ее за это время всего один раз.

Один из необычных примеров энтропии — это энтропия запутывания, которая определяется как обычная энтропия для «урезанной» квантовой системы. С помощью этой величины можно оценивать степень квантовой запутанности двух систем — например, частиц, которые рождаются в динамическом эффекте Казимира или упруго рассеиваются друг на друге. Некоторые физики даже считают, что с помощью энтропии запутывания можно понять, как устроены квантовые состояния черной дыры.

Дмитрий Трунин